Распределение молекул по величине скорости и по кинетической энергии

ЛЕКЦИЯ 8. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА

 

 

 

Формулу Максвелла:

 

, (8.1)

 

можно преобразовать так, чтобы она давала ответ на вопрос, какова вероятность того, что молекулы имеют величину скорости от до независимо от направления движения молекулы. Это легко сделать, если ввести в рассмотрение воображаемое пространство скоростей (рис. 8.1).

 

 

Рисунок 8.1 – Пространство скоростей

 

По осям системы координат в этом пространстве мы будем откладывать проекции вектора скорости . Роль радиус-вектора в этом пространстве играет вектор скорости молекулы . Нетрудно сообразить, что каждой молекуле в реальном пространстве соответствует строго свой вектор скорости в пространстве скоростей. Как мы уже знаем, выражение дает число молекул, проекции скорости которых лежат в пределах от до . Применительно к пространству скоростей это выражение дает число векторов, концы которых попадают в прямоугольный параллелепипед объемом dv_xdv_ydv_z. Положение этого параллелепипеда в пространстве скоростей задается вектором (см. рис. 8.1). Одинаковым значениям модуля скорости v в пространстве скоростей соответствует сфера радиуса v, а значениям модуля v+dv – сфера радиуса v+dv (см. рис. 8.1). Теперь мы можем сказать, что число молекул, величина скорости которых лежит в интервале от v до v+dv, равно числу векторов , концы которых попадают в шаровой слой, ограниченный указанными сферами. Число таких векторов прямо пропорционально объему шарового слоя – . Следовательно, число молекул, величина скорости которых лежит в интервале от v до v+dv, описывается выражением

 

, (8.2)

 

а функция распределения по модулям скоростей имеет вид (рис 8.2)

 

. (8.3)

 

 

Рисунок 8.2 – График функции распределения по модулям скоростей

Площадь под кривой на этом рисунке равна 1 в соответствии с условием нормировки. При увеличении температуры максимум кривой на рисунке 8.2 уменьшается и смещается вправо, но площадь, ограниченная кривой, остаётся неизменной.

Исходя из распределения молекул по скоростям (8.3), можно перейти к распределению по энергиям кинетического движения молекул. Для этого в выражении (8.3) от переменной v нужно перейти к кинетической энергии поступательного движения молекулы . Сделаем замену и в формуле (8.3). В результате получим:

 

,

 

где . И, соответственно, количество молекул, имеющих кинетическую энергию в интервале от Е_к до Е_к+dЕ_к, описывается выражением:

 

. (8.4)