Конкретизация задачи аппроксимации.

Для оценки близости функции g и fсоставляется вектор невязок (погрешности)

R=(g(x₀)-f(x₀), g(x₁)- f(x₁), ... , g(x_n)- f(x_n)).

Очевидно, что мы будем идти к тому, чтобы норма R была намного меньше, при этом можно работать либо:

1. - минимизируется максимальное отклонение.

2. - минимизируем сумму отклонений.

3. - минимизируем сумму квадратов отклонений.

Легко реализуются вычисления именно для 2ой нормы.

В качестве класса аппроксимирующей функции G, рассмотрим всевозможные линейные комбинации базисных функций g₀,g₁,...,g_n.

базисные функции фиксированы.

П.2. Метод наименьших квадратов.

Фиксирован набор функций: g₀(x),g₁(x),...,g_k(x) даны (x₀,y₀),(x₁,y₁),...,(x_n,y_n).

- линейная комбинация функции g_j_,y_i =f(x_i) 0,…,n;

фиксируем набор:

R=(y₀-g(x₀), ... , y_n-g(x₀))

Для нахождения минимума функции S от (k+1) переменной, нам необходимо все её частные производные приравнять к 0. При этом получаем систему: (k+1) уравнения для (k+1) переменной ().

(7.1)

Получили СЛАУ (7.1). Эту систему можно решить методом Гаусса – она всегда имеет единственное решение в случае, если набор базисных функций был линейно независим в узлах , то матрица СЛАУ (7.1) невырожденная, поэтому решение будет существовать и единственное.