Задачи, приводящие к теорем Муавра-Лапласа.
Приложения интегральной теоремы Муавра-Лапласа
1. Закон больших чисел (неравенство Бернулли). .
Неравенство Бернулли позволяет использовать построения теории вероятностей при решении многих задач естествознания и техники.
Проводится n независимых испытаний, при каждом из которых вероятность наступления события P(А)=р.
1. Чему равна вероятность того, что частота наступления события А отклонится от вероятности р не более чем на α?
.
2. Какое наименьшее число испытаний нужно произвести для того, чтобы с вероятностью, не меньшей β, частота отклонялась от вероятности не больше чем на α?
Нужно определить n из неравенства . Вероятность, стоящую в левой части неравенства, приближённо заменим по теореме Муавра-Лапласа интегралом. В результате для определения n получится неравенство .
3. При данной вероятности β и числе испытаний n требуется определить границу возможных изменений . Другими словами, зная β и n, нужно найти α, для которого . Применение интегральной теоремы Лапласа даёт для определения α уравнение .
Определение. Функция называется функцией Лапласа.
Замечание.Так как в конечном виде через элементарные функции не выражается, то для вычисления , а также для решения обратной задачи – вычисления х по заданному А, используют специальные таблицы и свойства функции Лапласа.
1. Нечётность.
2. Непрерывность.
3. .
4. График.
Пример 2. Вероятность изделию некоторого производства оказаться бракованным равна 0б005. Чему равна вероятность того, что из 10000 наудачу взятых изделий бракованных изделий окажется не более 70?
Решение. n=10000, p=0,005. Поэтому по формуле (1) находим вероятность того, что число бракованных изделий окажется не больше 70, равна сумме вероятностей числу бракованных изделий оказаться равным 1, 2, 3, …, 70. Таким образом: .
По интегральной теореме Муавра-Лапласа
Замечание 1. Значения (…) в таблице значений функции Лапласа нет. Все значения, большие 5, заменяются значением при х=5, погрешность при этом составляет менее .
Замечание 2.Если значения р и q не слишком близки к 0 и 1, то интегральная теорема Муавра Лапласа даёт удовлетворительные результаты, но при р и q близких к 0 или 1это представление работает плохо. Для того, чтобы в этом случае теорема Муавра-Лапласа дала хороший результат, требуется, чтобы n было очень велико.