Формула полной вероятности

 

Теорема о полной вероятности. Предположим, что событие может осуществиться с одним и только с одним из несовместных событий , , …, , (гипотез). Тогда вероятность события можно определить по формуле:

. (5)

Доказательство.Предположим, что событие может осуществиться с одним и только с одним из несовместных событий , , …, , т.е. , где события и при несовместны. По теоремам сложения и умножения вероятностей имеем или

(5)

Формула (5) называется формулой полной вероятности.

Пример 6.Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8; а вероятность второго – 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь из выбранного наудачу набора – стандартная.

Решение. Пусть событие – извлеченная деталь стандартна, событие – деталь извлечена из первого набора, событие – деталь извлечена из второго набора. Тогда событие А… . События несовместны. Тогда по формуле полной вероятности…

Так как деталь вынимают из наугад выбранного набора, то события и равновозможные, и их вероятности .

Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь . Условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь . Тогда искомая вероятность того, что взятая наудачу деталь из выбранного наудачу набора будет стандартной, по формуле полной вероятности равна .

Пример 7.Имеется 5 ящиков с шарами: 2 ящика состава Н₁ – по 2 белых шара и одному чёрному; 1 ящик состава Н₂ – 10 чёрных шаров; 2 ящика состава Н₃ – по 3 белых шара и одному чёрному. Наудачу выбирается ящик и из него наудачу вынимается шар. Чему равна вероятность того, что вынутый шар белый (событие А)?

Решение.Аналогично 17/30.