Следующая тема в большей степени будет рассматриваться на практических занятиях.
Следствие. Базис в Р2 может состоять максимум из четырех функций.
Теорема о достаточности четырех функций.
Из любой полной в Р2 системы функций можно выделить полную подсистему, состоящую не более чем из четырех функций.
Пример 1, приведенный выше, показывает, что цифру 4 в общем случае уменьшить нельзя, из полной системы {x1x2,0,1,x1Åx2Åx3} нельзя выделить полную подсистему.
Некоторые приложения алгебры логики.
1. Приложения алгебры логики в технике (релейно- контактные схемы).
Среди технических средств автоматизации значительное место занимают устройства релейно- контактного действия. Они широко используются в технике автоматического управления, в электронно-вычислительной технике и т.д. Эти устройства (их в общем случае называют переключательными схемами) содержат сотни реле. электронных ламп. полупроводников и электромагнитных элементов. Описание и конструирование таких схем в следствии их громоздкости весьма затруднительно.
Еще в 1910 году физик П. С. Эренфест указал на возможность применения аппарата алгебры логики при исследовании релейно-контактных схем (РКС). Однако его идеи стали реализовываться значительно позже, когда создание общей теории конструирования РКС стало остро необходимым.
Использование алгебры логики в конструировании РКС оказалось возможным в связи с тем, что каждой схеме можно поставить в соответствие некоторую формулу алгебры логики, и каждая формула алгебры логики реализуется с помощью не которой схемы. Это обстоятельство позволяет выявить возможности заданной схемы. изучая соответствующую формулу, а упрощение схемы свести к упрощению формулы. С другой стороны, до построения схемы можно заранее описать с помощью формулы те функции. которые схема должна выполнять.
Рассмотрим. как устанавливается связь между формулами алгебры логики и переключательными схемами. Под переключательной схемой понимают схематическое изображение некоторого устройства, состоящего из следующих элементов:
1) переключателей. которыми могут быть механические действующие устройства (выключатели, переключающие ключи. кнопочные устройства и т. д.). электромагнитные реле. электронные лампы, полупроводниковые элементы и т.п.;
2) соединяющих их проводников;
3) входов в схему и выходов из нее (клемм. на которые подается электрическое напряжение). Они называются полюсами схемы.
Сопротивления, конденсаторы и т.д. на схемах не изображаются.
Переключательной схемой принимается в расчет только два состояния каждого переключателя, которые называют .замкнутым. и .разомкнутым..
Рассмотрим простейшую схему. содержащую один переключатель Р и имеющую один вход А и один выход В. Переключателю Р поставим в соответствие высказывание р, гласящее: .Переключатель Р замкнут.. Если р истинно, то импульс, поступающий на полюс А. может быть снят на полюсе В без потери напряжения. Будем в этом случае говорить, что схема проводит ток. Если Р ложно, то переключатель разомкнут, и схема тока не проводит или на полюсе В снимается минимальное напряжение при подаче на полюс А максимального напряжения. Если принять во внимание не смысл высказывания, а только его значение, то можно считать, что любому высказыванию может быть поставлена в соответствие переключательная схема 1.
Формулам, включающим основные логические операции, также могут быть поставлены в соответствие переключательные схемы.
Конъюнкция двух высказываний р и q будет представлена двухполюсной схемой с последовательным соединением двух переключателей Р и Q (схема 2) .
Эта схема пропускает ток тогда и только тогда. когда истинны и р и q одновременно, то есть истинна конъюнкция p&q.
Дизъюнкция двух высказываний р и q изобразится двухполюсной схемой с параллельным соединением двух переключателей р и q (схема 3).
Эта схема пропускает ток в случае. если истинно высказывание р или истинно высказывание q, то есть истинна дизъюнкция р Ú q .
Из схем 1. 2 и 3 путем последовательного и параллельного их соединения могут быть построены новые двухполюсные переключательные схемы. которые называют П- схемами.