Лабороторная работа 3-4
Системы эконометрических уравнений
Виды систем эконометрических уравнений
Сложные экономические процессы описывают с помощью системы взаимосвязанных (одновременных) уравнений.
Различают несколько видов систем уравнений, применяемых в эконометрике:
– система независимых уравнений – когда каждая зависимая переменная 
рассматривается как функция одного и того же набора факторов 
для построения такой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов, применяемый к каждому уравнению в отдельности;
– система рекурсивных уравнений – когда зависимая переменная одного
уравнения выступает в виде фактора 
в другом уравнении
для построения такой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов, применяемый последовательно к каждому уравнению в отдельности;
– система взаимосвязанных (совместных) уравнений – когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других – в правую
Такая система уравнений называется структурной формой модели. Для построения таких систем и нахождения их параметров используются косвенный и двухшаговый методы наименьших квадратов.
Введем следующие определения.
Эндогенными переменными называются взаимозависимые переменные, которые определяются внутри модели (системы) – переменные .
Экзогенными переменными называются независимые переменные, которые определяются вне системы – переменные .
Предопределенными переменными называются экзогенные и лаговые(за предыдущие моменты времени 
) эндогенные переменные системы.
Коэффициенты 
и 
при переменных носят название структурных коэффициентов модели.
Система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы называется приведенной формой модели
где 
– коэффициенты приведенной формы модели.
Проблема идентификации
При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь
сталкивается с проблемой идентификации. Идентификация – это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.
С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить
на три вида:
– идентифицируемые;
– неидентифицируемые;
– сверхидентифицируемые.
Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной
формы модели, т. е. если число параметров структурной модели равно числу
параметров приведенной формы модели. В этом случае структурные коэффи-
циенты модели оцениваются через параметры приведенной формы модели и
модель идентифицируема.
Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели
Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два или более зна-
чений одного структурного коэффициента. В этой модели число структурных
коэффициентов меньше числа коэффициентов приведенной формы.
Сверхидентифицируемая модель, в отличие от неидентифицируемой, мо-
дели практически решаема, но требует для этого специальных методов исчис-
ления параметров.
Структурная модель всегда представляет собой систему совместных урав-
нений, каждое из которых требуется проверять на идентификацию. Модель
считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифици-
руемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся
модель считается неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель
содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.
Выполнение условия идентифицируемости модели проверяется для каждого уравнения системы. Чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо,
чтобы число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных
в данном уравнении без одного.
Обозначим через H – число эндогенных переменных в уравнении, а через
D – число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но
присутствующих в системе. Тогда необходимое условие идентификации от-
дельного уравнения принимает вид:
– уравнение идентифицируемо, если D + 1 = H;
– уравнение неидентифицируемо, если D + 1 < H;
– уравнение сверхидентифицируемо, если D + 1 > Н.
Если необходимое условие выполнено, то далее проверяется достаточное
условие идентификации.
Достаточное условие идентификации. Уравнение идентифицируемо, если определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных,
отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы
не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.
Оценивание параметров структурной модели
Для решения идентифицируемых уравнений применяется косвенный метод наименьших квадратов, для решения сверхидентифицированных – двухшаговый метод наименьших квадратов.
Косвенный МНК состоит в следующем:
1) составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров для каждого ее уравнения в отдельности с помощью обычного МНК;
2) путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные
оценки структурных параметров.
Двухшаговый МНК заключается в следующем:
1) составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения в отдельности с помощью обычного МНК;
2) выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения (параметры которого определяют двухшаговым МНК) и находят расчетные значения по полученным на первом этапе соответствующим уравнениям приведенной формы модели;
3) с помощью обычного МНК определяют параметры каждого структурного уравнения в отдельности, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения, полученные на втором этапе.
Контрольные вопросы:
1. Какие виды систем уравнений применяются в эконометрике? Охарактери-
зуйте их.
2. Какие методы применяются для нахождения структурных коэффициентов
модели для различных видов систем уравнений?
3. Какие переменные называются эндогенными, экзогенными, предопределен-
ными?
4. Что представляют собой структурная и приведенная форма модели?
5. Что понимается под идентификацией модели?
6. На какие виды подразделяются структурные модели с позиции идентифици-
руемости?
7. Что представляют собой необходимое и достаточное условия идентифика-
ции уравнения?
8. В каком случае применяется и что представляет собой косвенный МНК?
9. В каком случае применяется и что представляет собой двухшаговый МНК?
3.4.Решение типовых задач
Пример 1.Требуется:
1. Оценить следующую структурную модель на идентификацию:
2. Исходя из приведенной формы модели уравнений
найти структурные коэффициенты модели.
Решение:
1. Исследование модели на идентифицируемость. Модель имеет три эндогенные 
и три экзогенные 
переменные.
Проверим каждое уравнение системы на необходимое (Н) и достаточное (Д) условия идентификации.
Первое уравнение.Необходимое условие (Н): эндогенных переменных – 2 
, отсутствующих экзогенных – 1 ( 
).
Выполняется необходимое равенство: 2 = 1+1, следовательно, уравнение
точно идентифицируемо.
Достаточное условие (Д): в первом уравнении отсутствуют 
и . Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы
| Уравнение | Отсутствующие переменные | |
|
|
| |
| Второе | -1 | 
|
| Третье | 
|
Определитель матрицы Det A = 
Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно,
выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно
идентифицируемо.
Второе уравнение.Н: эндогенных переменных –3 , отсутствующих экзогенных – 2 
Выполняется необходимое равенство: 3 = 2+1, следовательно, уравнение
точно идентифицируемо.
Д: во втором уравнении отсутствуют 
и 
. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы
| Уравнение | Отсутствующие переменные | |
|
|
| |
| Второе | 
| 
|
| Третье | 
| 
|
Определитель матрицы Det A = 
Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно,
выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно
идентифицируемо.
Третье уравнение.Н: эндогенных переменных –3 
,отсутствующих экзогенных –
Выполняется необходимое равенство: 2 = 1+1, следовательно, уравнение
точно идентифицируемо. Д: во втором уравнении отсутствуют и . Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы
| Уравнение | Отсутствующие переменные | |
|
| |
| Второе | -1 | |
| Третье | 
|
|
Определитель матрицы Det A = 
Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно,
выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно
идентифицируемо.
Следовательно, исследуемая система точно идентифицируема и может
быть решена косвенным методом наименьших квадратов.
2. Вычисление структурных коэффициентов модели:
1) из третьего уравнения приведенной формы выразим (так как его нет впервом уравнении структурной формы)
Данное выражение содержит переменные 
, и , которые входят в пра-
вую часть первого уравнения структурной формы модели (СФМ). Подставим по-
лученное выражение в первое уравнение приведенной формы модели (ПФМ)
2) во втором уравнении СФМ нет переменных и . Структурные параметры второго уравнения СФМ можно будет определить в два этапа.
Первый этап: выразим в данном случае из первого или третьего уравнения ПФМ. Например, из первого уравнения
Подстановка данного выражения во второе уравнение ПФМ не решило бы
задачу до конца, так как в выражении присутствует , которого нет в СФМ.
Выразим из третьего уравнения ПФМ
Подставим его в выражение для
Второй этап: аналогично, чтобы выразить через искомые 
и , заменим в выражении значение на полученное из первого уравнения ПФМ
Следовательно 
Подставим полученные и , во второе уравнение ПФМ
откуда 
3) из второго уравнения ПФМ выразим , так как его нет в третьем уравнении СФМ 
Подставим полученное выражение в третье уравнение ПФМ 
В результате получаем третье уравнение СФМ
Таким образом, СФМ примет вид
Пример 2.Изучается модель вида
где y – валовой национальный доход;
– валовой национальный доход предшествующего года;
С – личное потребление;
D – конечный спрос (помимо личного потребления);
и 
– случайные составляющие.
Информация за девять лет о приростах всех показателей дана в табл. 3.1.
| Год | 
|
|
| 
| Год |
|
|
|
|
| -6,8 | 46,7 | 3,1 | 7,4 | 44,7 | 17,8 | 37,2 | 8,6 | ||
| 22,4 | 3,1 | 22,8 | 30,4 | 23,1 | 37,2 | 35,7 | |||
| -17,3 | 22,8 | 7,8 | 1,3 | 51,2 | 35,7 | 46,6 | 31,4 | ||
| 7,8 | 21,4 | 8,7 | 32,3 | 46,6 | 39,1 | ||||
| 5,9 | 2,4 | 17,8 | 22,8 | 
| 167,5 | 239,1 | 248,4 | 182,7 |
Для данной модели была получена система приведенных уравнений
Требуется:
1. Провести идентификацию модели.
2. Рассчитать параметры первого уравнения структурной модели.
Решение:
1. В данной модели две эндогенные переменные ( и С) и две экзогенные переменные
(D и ). Второе уравнение точно идентифицировано, так как содержит две эндогенные переменные и не содержит ни одну экзогенную переменную из системы. Иными словами, для второго уравнения имеем по счетному правилу идентификации равенство: 2=1+1.
Первое уравнение сверхидентифицировано, так как в нем на параметры
при С и D наложено ограничение: они должны быть равны. В этом уравнении
содержится одна эндогенная переменная . Переменная С в данном уравнении
не рассматривается как эндогенная, так как она участвует в уравнении не самостоятельно, а вместе с переменной D. В данном уравнении отсутствует одна экзогенная переменная, имеющаяся в системе. По счетному правилу идентификации получаем: 1 + 1 = 2:
D + 1 > Н. Это больше, чем число эндогенных переменных в данном уравнении, следовательно, система сверхидентифицирована.
2. Для определения параметров сверхидентифицированной модели используется двухшаговый метод наименьших квадратов.
Шаг 1. На основе системы приведенных уравне
ний по точно идентифицированному второму уравнению определим теоретические значения эндогеннойпеременной С. Для этого в приведенное уравнение
подставим значения D и , имеющиеся в условии задачиПолученные значе-
ния обозначим 
(i = 1,...,9) (табл. 3.2).
Шаг 2. По сверхидентифицированному уравнению структурной формы
модели заменяем фактические значения С на теоретические Ĉ и рассчитываем
новую переменную Ĉ + D (табл. 3.2).
Таблица 3.2
| Год |
| 
| 
| Год |
|
|
|
| -6,8 | 15,8 | 44,7 | 27,4 | 72,1 | |||
| 22,4 | 16,8 | 39,2 | 23,1 | 4,1 | |||
| -17,3 | 7,4 | -9,9 | 51,2 | 33,2 | 84,4 | ||
| 14,3 | 26,3 | 32,3 | 61,3 | ||||
| 5,9 | 20,9 |
| 167,5 | 182,9 | 350,4 |
Далее к сверхидентифицированному уравнению применяется метод наименьших квадратов. Обозначим новую переменную Ĉ + D через Z. Решаем уравнение 
С помощью МНК получим 
= 7,678; 
0,542.
Запишем первое уравнение структурной модели
y = 7,678 + 0,542 (С + D).
Пример 3. Рассматривается следующая модель:
где 
– расходы на потребление в период 
;
– совокупный доход в период ;
– инвестиции в период ;
– процентная ставка в период ;
– денежная масса в период ;
– государственные расходы в период ;
– расходы на потребление в период 
;
– инвестиции в период ;
– случайные ошибки.
Требуется:
1. В предположении, что имеются временные ряды данных по всем переменным модели, предложить способ оценки ее параметров.
2. Как изменится ваш ответ на вопрос п. 1, если из модели исключить тождество дохода?
Решение:
1. Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Для ответа на вопрос о способе оценки параметров модели проверим каждое ее уравнение на идентификацию.
Модель включает четыре эндогенные переменные ( , , , и ) и четыре предопределенные переменные (две экзогенные переменные – и и две лаговые эндогенные переменные – и ).
Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.
I уравнение.
Это уравнение включает две эндогенные переменные и и одну предопределенную переменную . Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение:
3 + 1 > 2. Уравнение сверхидентифицировано.
II уравнение.
Уравнение II включает две эндогенные переменные и 
и не включает
три предопределенные переменные. Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение:
3 + 1 > 2. Уравнение сверхидентифицировано.
III уравнение.
Уравнение III тоже включает две эндогенные переменные , и и не включает три предопределенные переменные. Это уравнение сверхидентифицировано.
IV уравнение.
Уравнение IV представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в его идентификации нет.
Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации.
Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| Уравнение I | -1 | 
| 
| |||||
| Уравнение II | -1 |
| 
| |||||
| Уравнение III | 
| -1 |
| |||||
| Уравнение IV | -1 |
В соответствии с достаточным условием идентификации определитель
матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть равен числу эндогенных переменных модели минус 1, т. е. 4–1=3.
I уравнение.
Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид
Ее ранг равен 3, так как определитель квадратной подматрицы 3х3 этой
матрицы не равен нулю
Достаточное условие идентификации для I уравнения выполняется.
II уравнение.
Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение
Ее ранг равен трем, так как имеется квадратная подматрица 3 х 3 этой мат-
рицы, определитель которой не равен нулю.
Достаточное условие идентификации для II уравнения выполняется.
III уравнение.
Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение
Ее ранг также равен трем.
Достаточное условие идентификации для III уравнения выполняется.
Таким образом, все уравнения модели сверхидентифицированы. Для оцен-
ки параметров каждого из уравнений будем применять двухшаговый МНК
Шаг 1. Запишем приведенную форму модели в общем виде
где v1, v2, v3, v4 – случайные ошибки.
Определим параметры каждого из приведенных выше уравнений в отдельности обычным МНК. Затем найдем расчетные значения эндогенных переменных Yt, rt используемых в правой части структурной модели, подставляя в каждое уравнение приведенной формы соответствующее значение предопределенных переменных.
Шаг 2. В исходных структурных уравнениях заменим эндогенные переменные, выступающие в качестве факторных признаков, их расчетными значениями.
Применяя к каждому из полученных уравнений в отдельности обычный МНК, определим структурные параметры .
2. Если из модели исключить тождество дохода, число предопределенных
переменных модели уменьшится на 1 (из модели будет исключена переменная ).
Число эндогенных переменных модели также снизится на единицу – переменная
станет экзогенной. В правых частях функции потребления и функции
денежного рынка будут находиться только предопределенные переменные.
Функция инвестиций постулирует зависимость эндогенной переменной , от
эндогенной переменной (которая зависит только от предопределенных переменных)
и предопределенной переменной . Таким образом, мы получим рекурсивную
систему. Ее параметры можно оценивать обычным МНК, и нет необходимости исследования системы уравнения на идентификацию.
Лабораторная работа№ 3-4
Задание. По заданным исходным данным для заданной модели (в соответствии с вариантом):
1) выделить эндогенные и экзогенные переменные;
2) применив необходимое и достаточное условие идентификации, определить, идентифицировано ли каждое из уравнений модели;
3) определить метод оценки параметров модели;
4) записать приведенную форму модели;
5) определить коэффициенты приведенной формы модели;
6) определить коэффициенты структурной формы модели;
7) проверить значимость полученных уравнений и их коэффициентов.
Указания к решению. Для нахождения приведенных уравнений (а также
коэффициентов структурных уравнений при применении ДМНК) рекомендует-
ся использовать табличный процессор Excel (надстройка «Анализ данных»,
функция – расчет уравнения регрессии):
1) вызов модуля для нахождения регрессии – пункты меню: Сервис – Ана-
лиз данных – Регрессия.
2) указать ячейки, содержащие исходные значения и .
3) если отсутствует свободный член в уравнении регрессии – установить
флажок «Константа–ноль».
Искомые значения коэффициентов линейного уравнения регрессии (a, bi)
берутся из столбца «Коэффициенты» таблицы результатов регрессии.
Требования к оформлению результатов
Отчет о лабораторной работе должен содержать разделы:
1. Описание задания;
2. Описание решения лабораторной работы (по этапам);
3. Изложение полученных результатов.
Варианты заданий к лабораторным работам № 2-3
Если иное не оговорено, то исходные данные берутся из табл. 3
Вариант 1
Модель денежного рынка:
где 
– процентная ставка; – ВВП; – денежная масса; – внутренние инвестиции;
t – текущий период.
Вариант 2
Модель Менгеса:
где – национальный доход;
где 
– расходы на потребление; 
– ВВП; 
– инвестиции; 
– процентная ставка;
– денежная масса; 
– государственные расходы;
Вариант 6
Модель протекционизма Сальватора (упрощенная версия)
t – текущий период;
t–1 – предыдущий период.
где – доля импорта в ВВП; 
– общее число прошений об освобождении от таможенных пошлин; 
– число удовлетворенных прошений об освобождении от таможенныхпошлин; 
– фиктивная переменная, равная 1 для тех лет, в которые курс рубля на международных валютных рынках был искусственно завышен, и 0 – для всех
остальных лет; – реальный ВВП; 
– реальный объем чистого экспорта;t – текущий период;t–1 – предыдущий период.