Q Тема 4: Ескалація конфлікту

Пример 2. Три компоненты импульса частицы по декартовым осям (проекция импульса на ось х, проекция импульса на ось y и проекция импульса на осьz) в совокупности образуют полный набор физических величин.

Cпектр проекции импульса на декартову ось х является непрерывным и простирается от минус до плюс бесконечности. Существует бесконечно много различных состояний, в каждом из которых компонента импульса по оси х имеет одно и тоже определенное значение . Волновые функции таких состояний имеют вид

, (16)

где есть произвольная однозначная конечная непрерывно дифференцируемая функция координат у и z.

Аналогично и для компонент импульса по другим декартовым осям. Cпектр проекции импульса на декартову ось y является непрерывным и простирается от минус до плюс бесконечности. Существует бесконечно много различных состояний, в каждом из которых компонента импульса по оси y имеет одно и тоже определенное значение . Волновые функции таких состояний имеют вид

, (17)

где есть произвольная однозначная конечная непрерывно дифференцируемая функция координат x и z.

Cпектр проекции импульса на декартову ось z является непрерывным и простирается от минус до плюс бесконечности. Существует бесконечно много различных состояний, в каждом из которых компонента импульса по оси z имеет одно и тоже определенное значение . Волновые функции таких состояний имеют вид

, (18)

где есть произвольная однозначная конечная непрерывно дифференцируемая функция координат x и z.

Две компоненты импульса являются одновременно измеримыми – компонента импульса по оси х одновременно измерима с компонентой импульса по оси y, компонента импульса по оси yодновременно измерима с компонентой импульса по оси z и компонента импульса по оси z одновременно измерима с компонентой импульса по оси х. Причем допустимой является любая комбинация двух компонент импульса.

Существует бесконечно много состояний, в которых две компоненты импульса одновременно имеют данные определенные значения. Волновые функции состояний с определенными значениями и проекций импульса на оси x и y имеют вид

, (19)

где есть произвольная однозначная конечная непрерывно дифференцируемая функция координаты z. Волновые функции состояний с определенными значениями и проекций импульса на оси у и z имеют вид

, (20)

где есть произвольная однозначная конечная непрерывно дифференцируемая функция координаты х.

Волновые функции состояний с определенными значениями и проекций импульса на оси x и z имеют вид

, (21)

где есть произвольная однозначная конечная непрерывно дифференцируемая функция координаты y. Следовательно, совокупность только из двух компонент импульса полный набор не образует.

Три же компоненты импульса по декартовым осям , и в совокупности образуют полный набор физических величин частицы. Причем допустимой является комбинация любых значений компонент импульса. Волновые функции состояния, в котором компонента импульса по оси х имеет определенное значение , компонента импульса по оси у имеет определенное значение и компонента импульса по оси z имеет определенное значение , имеют вид ид

. (22)

Здесь С есть нормировочный множитель (нормировочная постоянная). При фиксированных значениях ,и эти волновые функции отличаются друг от друга значением нормировочного множителя, т.е. они отличаются друг от друга умножением на число. Следовательно, все эти функции описывают одно и тоже состояние.

Действуя по указанному выше алгоритму, мы можем из волновых функций общих собственных состояний трех компонент импульса сформировать базисную систему волновых функций . По этой базисной системе волновых функций мы можем разложить волновую функцию произвольного состояния движения частицы, т.е. мы эту волновую функцию можем представить в виде следующей линейной комбинации волновых функций нашей системы

. (23)

Поскольку любая комбинация значений трех компонент импульса является допустимой, то

(24)

Таким образом, разложение (23) принимает вид

. (25)

Согласно принципу суперпозиции коэффициенты в этом разложении определяют вероятность того или иного результата одновременного измерения всех трех компонент импульса. Выражение

(26)

пропорционально вероятности того, что при одновременном измерении в момент времени t трех компонент импульса мы получим значение компоненты импульса по оси х, лежащие элементарном интервале , значение компоненты импульса по оси у, лежащие элементарном интервале , и значение компоненты импульса по оси z, лежащие элементарном интервале .

При этом коэффициент пропорциональности зависит от того, какие мы возьмем значения нормировочных множителей (нормировочных постоянных) базисных волновых функций. Можно подобрать такие значения множителей базисных волновых функций так, чтобы (26) по абсолютной величине совпадало с вероятностью результата одновременного измерения наших величин.

Пример 3. Частица с зарядом в стационарном однородном магнитном поле с напряженностью .Для частицы в магнитном поле компонента импульса по оси х, компонента импульса по оси z и энергия совокупности образуют полный набор физических величин. В допустимых комбинациях значений наших трех величин компоненты импульса и могут быть любыми. При фиксированном значении энергия в допустимых комбинациях величин нашего полного набора может иметь значения

, (27)

где , - циклотронная частота. Квантовое число часто называют номером уровня Ландау.

Волновые функции состояния, в котором компонента импульса по оси х имеет определенное значение , компонента импульса по оси z имеет определенное значение , и энергия имеет определенное значение (собственная волновая функция допустимой комбинации ) имеет вид

. (28)

Здесь - специальная функция – полином Эрмита.

С в (28) есть нормировочная постоянная. В качестве С в принципе можно взять любое отличное от нуля комплексное число. Какое бы мы не взяли значение нормировочной постоянной С функция будет являться волновой функцией одного и того же состояния, в котором наши две компоненты импульса и энергия одновременно имеют данные определенные значения , и соответственно.

Действуя по указанному выше алгоритму, мы можем из волновых функций общих собственных состояний величин нашего полного набора сформировать базисную систему волновых функций . По этой базисной системе волновых функций мы можем разложить волновую функцию произвольного состояния движения частицы в магнитном поле, т.е. эту волновую функцию мы можем представить в виде следующей линейной комбинации волновых функций нашей базисной системы

(29)

Поскольку при фиксированных значениях и допустимые комбинации отличаются значением натурального числа n (номера уровня Ландау), то эту сумму мы можем заменить суммой по всем натуральным числам n от нуля до плюс бесконечности

. Таким образом, в окончательном варианте наше разложение имеет следующий вид

(30)

Опять же согласно общему правилу – принципу суперпозиции – коэффициент А в нашем разложении определяет вероятность того или иного результата одновременного измерения в момент времени t двух наших компонент импульса и энергии.