Дискретные и непрерывные двумерные случайные величины

Определение 1. Двумерная случайная величина (x_1, x₂) называется дискретной, если x₁ и x₂ являются дискретными случайными величинами.

Такая случайная величина имеет следующую таблицу распределения:

 

где a₁, a₂, …, a_n … — значения случайной величины x₁; b₁, b₂, …, b_n, … — значения случайной величины x₂; a p_ij=P(x₁ = a_i, x_{2 =} b_j) — совместные вероятности значений (x₁, x₂).

По этой таблице легко определить распределение вероятностей каждой из случайных величин x₁ и x₂ (эти распределения называются частными или маргинальными):

для любого i = 1, 2, ..., п, ...; аналогичными рассуждениями получим

 

 

Нетрудно определить функцию распределения F_x( x₁, x₂), где x =(x₁, x₂).

Ясно, что

т.е. необходимо просуммировать р_ij по тем значениям i и j, для которых a_i < x₁, b_j < x_2.

Определение 2. Двумерная случайная величина (x₁, x₂) называется непрерывной, если существует такая неотрицательная, интегрируемая на плоскости функция p(t₁, t₂), называемая двумерной плотностью (или совместной плотностью распределения случайных величин x₁ и x₂), что имеет место

Если здесь предположить, что p(t₁, t₂), непрерывная функция по обоим аргументам, тогда

 

 

Приведем некоторыесвойства совместной плотности распределения случайных величин x₁ и x₂.

1) p(t₁, t₂) ³ 0.

3) P((x₁, x₂) Î D) = òò_D p(t₁; t₂)dt₁dt₂ где Dβ — некоторая область.

Далее, воспользовавшись свойством 3 двумерной функции распределения (см. 2.4.1), имеем

 

и дифференцируя, получаем выражения для одномерных плотностей:

 

Пример 1.Фирма выпускает мини-заводы по производству хлеба. На рекламу может быть израсходовано определённое количество средств. В таблице приведено возможное количество проданных в течение месяца заводов () и объём средств, израсходованных на рекламу (). Каждой паре значений (a_i,b_j) случайных величин (,) поставлена в соответствие вероятность появления этой пары.

	0,12	0,15	0,10
	0,08	0,10	0,12
	0,05	0,10	0,18

Требуется составить таблицы распределения вероятностей для каждой из величин и и выразить условный закон распределения вероятностей величины при = 2.

Воспользуемся формулами

Таким образом, вероятность события равна сумме вероятностей в i – м столбце, а вероятность равна сумме вероятностей в j - й строке . В результате получаем таблицы распределения вероятностей:

 

P	0,25	0,35	0,4

 

P	0,37	0,3	0,33

 

Находим условные вероятности величины при =2:

P(=1/=2)=P (=1,=2)/P (=2)=0,10/0,4=0,25;

P(=2/=2)=P (=2,=2)/P (=2)=0,12/0,4=0,30;

P(=3/=2)=P (=3,=2)/P (=2)=0,18/0,4=0,45.

Пример 2. Пусть плотность распределения случайного вектора x = (x_1, x₂) постоянна в области D={a₁£ t₁£ b₁, a₂£ t₂£ b₂}, т.е.

Найдем С, пользуясь свойством 2 совместной плотности:

Отсюда находим С=1/(b₁ - a₁)( b₂ - a₂).

Такое распределение называется равномерным в области D.

Найдем частные плотности распределения случайных величин x₁ и x₂

Мы получили, что случайные величины x₁ и x₂ имеют равномерные распределения с плотностями