А. Некооперативные игры

В играх с ненулевой суммой два игрока могут выигрывать и проигрывать одновременно. В некооперативных (или бескоалиционных) играх игроки принимают решения независимо друг от друга. Решение некооперативных игр основывается на нахождении точек равновесия игры.

Пусть

- матрицы выигрышей первого и второго игрока соответственно.

Матрица игры выглядит так:

и пусть (x*, y*) – так называемая точка равновесия (оптимальные стратегии игроков).

Тогда средние выигрыши первого и второго игроков будут равны, соответственно:

Определение 1.Точка (x*, y*) – точка равновесия по Нэшу, если выполняются следующие условия:

Ни одному из игроков не выгодно отклоняться от стратегии точки равновесия, если второй придерживается этой стратегии.

Приведем без доказательства следующую теорему.

Теорема Нэша.Каждая биматричная игра имеет по крайней мере одну точку равновесия. В общем случае равновесие может быть не единственным и каждому из них могут соответствовать различные значения выигрыша каждого из игроков.

Для игры 2×2 достаточными условиями для нахождения точки равновесия по Нэшу будут являться следующие неравенства:

,

Рассмотрим несколько примеров

Пример 1(Дилемма заключенных).

Два преступника ожидают приговора суда за совершенное преступление. Адвокат конфиденциально предлагает каждому из них облегчить их участь, даже освободить, если он сознается и даст показания против сообщника, которому в этом случае грозит тюремное заключение сроком на 10 лет. Если никто не сознается, то обоим угрожает заключение в один год по обвинению в незначительном преступлении. Если сознаются оба, то, с учетом чистосердечного признания, обоим грозит срок 5 лет.

Каждый игрок имеет две стратегии:

δ₁= {сознаться}; δ₂= {не сознаться} – стратегии первого игрока; θ₁= {сознаться}; θ₂= {не сознаться} – стратегии второго игрока.

Составим матрицу выигрышей игроков:

Выделим матрицы А₁, А₂ – матрицы выигрышей первого и второго игроков соответственно.

; .

Найдём точек равновесия. Пусть x = (x₁, 1-x₁); y = (y₁, 1-y₁). Вычислим

Для точки равновесияимеет место

, отсюда .

Находим решение системы геометрически (4 системы). Нужно найти такую точку, чтобы координаты удовлетворяли неравенствам: .

Эта точка (Проверьте самостоятельно). Тогда, пара стратегий по Нэшу выглядит так .