Матричные игры

Рассмотрим сначала игру с нулевой суммой с двумя участниками. Для описания такой игры приведем пример

Пример. Бизнесмен планирует поездку в город N. Эта поездка должна состоятся ровно через месяц. Однако существуют некоторые чрезвычайные обстоятельства, которые могут возникнуть перед отъездом и привести к переносу отъезда на два дня. Бизнесмен может купить билет либо по обычному тарифу за $100, либо по экскурсионному за $75. В первом случае бизнесмен может без труда переносить дату отъезда, заплатив за переоформление $5. Если он воспользуется экскурсионным тарифом и ему придется перенести отъезд, то он потеряет $75 и заплатит еще $100 за новый билет.

Предположим, что бизнесмен выступает в роли первого игрока, а вторым игрокам является обстоятельства (назовём его «природа»).

Определим стратегии игроков. Первый игрок имеет две стратегии: δ₁ = {воспользоваться обычным тарифом};

δ₂ = {воспользоваться экскурсионным тарифом}.

Второй игрок также имеет две стратегии:

Θ₁= {поездка состоится в намеченный срок};

Θ₂= {дата поездки сдвинется на 2 дня}.

Обозначим через a_ij - потери первого игрока, если он применяет стратегию δ_i, а второй игрок - Θ_j. Тогда, по условиям задачи : a₁₁ = 100 ; a₁₂= 105 ; a₂₁= 75 ; a₂₂= 175 и

Здесь матрица А называется матрицей потерь первого игрока.

Цель первого игрока – выбрать оптимальную стратегию, приводящую к наименьшим потерям. С этой целью руководствуясь общим принципом Р каждой стратегии первого игрока δ_i ставят в соответствие число a(δ_i), характеризующее потери.

Существует два подхода к решению задачи выбора оптимальной стратегии: минимаксный и байесовский. В рамках минимаксного подхода первый игрок считает, что его ожидает самая неблагоприятная ситуация и самые большие потери и оптимальной считает стратегию, которая минимизирует эти большие потери. В рамках байесовского подхода первый игрок располагает некоторой дополнительной информацией, о том с какой вероятностью его оппонент использует ту или иную стратегию. Это позволяет вычислять средние потери и оптимальной для первого игрока считается та стратегия, которая минимизирует эти средние потери.

Задачи к § 2

2.1. Школьник сдал выпускные экзамены в своей школе и теперь должен решить, в какое ВУЗ он будет поступать. У него на выбор есть возможности получения экономического, юридического, гуманитарного, математического и технического образования. Но, политическая ситуация в стране не стабильная, вскоре ожидается президентские выборы. Основными претендентами на успех по экспертным оценкам являются кандидаты от партий консерваторов, социал-демократов, коммунистов и «зелёных». В зависимости от победы того или иного кандидата, в стране будет сделана ставка на ту или иную социально-трудовую политику. Поэтому профессия, которую получит школьник, будет по-разному цениться при разных режимах. Сформулируйте задачу как матричную игру с составлением матрицы потерь школьника.

2.2. Рассмотрим следующую игру. Каждый игрок показывает один или два пальца и одновременно пытается угадать число пальцев, показанных противником. Если один из игроков угадал правильно, то он выигрывает сумму, равную общему числу пальцев, показанных обоими игроками. Во всех остальных случаях игра заканчивается вничью. Сформулируйте задачу как матричую игру; составьте матрицу потерь для первого игрока.

§ 3. Простая А-игра