Основные определения

План

Темы: Выбор потребителя в условиях неопределенности

1. Денежные лотереи и представление предпочтений на лотереях функцией ожидаемой полезности; единственность функции ожидаемой полезности с точностью до положительного линейного преобразования.
2. Отношение к риску; денежный эквивалент лотереи и премия за риск.
3. Модель спроса на рисковый актив или задача формирования оптимального портфеля инвестиций.

1. Пусть - множество возможных исходов (будем рассматривать денежные исходы). Простой лотереей будем называть набор вероятностей , где – вероятность исхода и. Обозначим множество простых лотерей через .

Определение.Предпочтения потребителя представимы функцией ожидаемой полезности, если каждому исходу можно присвоить число таким образом, что для любых двух лотерей и: равносильно .

Функция U, определенная на лотереях, называется функцией ожидаемой полезности или функцией полезности Неймана-Моргенштерна (von Neumann-Morgenstern).

Функцию , определенную на денежных суммах, принято называть элементарной функцией полезности или функцией полезности Бернулли (будем считать ее непрерывной и возрастающей).

Утверждение(Единственность функции ожидаемой полезности).Если функция – функция ожидаемой полезности, представляющая предпочтения, определенные на , то - другая функция ожидаемой полезности, отражающая те же предпочтения на тогда и только тогда, когда существуют числа и такие, что для любой лотереи .

2. Определение.Будем говорить, что индивид несклонен к риску, если любая лотерея для него не лучше ожидаемого выигрыша этой лотереи, , полученного с определенностью. Если потребитель строго предпочитает ожидаемый выигрыш самой лотерее, то говорят, что он строго несклонен к риску или рискофоб.

Будем говорить, что индивид нейтрален к риску, если он безразличен между лотереей и ее ожидаемым выигрышем, полученным с определенностью.

Будем говорить, что индивид склонен к риску, если предпочитает лотерею ее ожидаемому выигрышу, полученному с определенностью. Если потребитель строго предпочитает лотерею ее ожидаемому выигрышу, то говорят, что он строго склонен к риску или рискофил.

Если предпочтения индивида представимы с помощью функции ожидаемой полезности, то несклонность к риску означает вогнутость элементарной функции полезности (для рискофоба – строгую вогнутость); склонность к риску эквивалентна выпуклости элементарной функции полезности (для рискофила – строгой выпуклости); у нейтрального к риску индивида элементарная функция полезности линейна: , где .

Определение.Денежным (гарантированным) эквивалентом лотереи будем называть сумму денег (полученную с определенностью), которая приносит индивиду такую же полезность, что и данная лотерея: .

Премия за риск – максимальная сумма денег, от которой индивид готов отказаться, чтобы не участвовать в риске: .

Утверждение: Для индивида-рискофоба для любой лотереи выполнено: (т.е. он любую лотерею оценивает в сумму меньшую ее ожидаемого выигрыша).

3.Задача формирования оптимального портфеля инвестиций (из двух активов: рискового и безрискового)1155.files/image064.gif" />с вероятностью , где , , . Будем считать, что предпочтения потребителя представимы функцией ожидаемой полезности с дифференцируемой элементарной функцией полезности, и для любого .

Обозначим через вложения в безрисковый актив, – вложения в рисковый актив, . Тогда в «хорошем» состоянии природы (которое наступает с вероятностью ) индивид будет иметь сумму денег , а в «плохом» его богатство составит .

Задача индивида выбрать такой уровень инвестиций в рисковый актив , который является решением задачи максимизации ожидаемой полезности:

.

Условия первого порядка этой задачи (необходимые и достаточные в силу строгой вогнутости функции полезности рискофоба):

при

при

при .

Утверждение: Для индивида-рискофоба условие является необходимым и достаточным условием положительности спроса на рисковый актив.