Функция плотности распределения вероятности (ПВР).

Вероятность dP того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу ( x , x+dx) равна

,

где f(x) – функция плотности распределения вероятности (является вероятностью, приходящейся на единицу длины, рассматриваемого участка).

Вероятность того, что случайная величина принимает значения из интервала [x₁,x₂] рассчитывается по формуле:

Функция f(x) показывает следующую важнейшую информацию: вероятность числовой величине х принять значение больше числа x₁ и меньше числа x₂ равна площади под кривой f(x) на отрезке [x₁, x₂]. Разумеется, это касается любых x₁ и x₂, близких между собой или далеких, расположенных в любом месте прямой х.

Из наиболее известных видов распределения непрерывных случайных величин наиболее часто используют нормальное распределение, описываемое законом Гаусса. Впервые нормальный закон был обнаружен в Х1Х веке в применении к теории ошибок измерения Лапласом и Гаусcом.

Гаусс (Gauss) Карл Фридрих (30.4.1777, Брауншвейг, — 23.2.1855, Гёттинген), немецкий математик, внёсший фундаментальный вклад также в астрономию и геодезию

Пьер-Симо́н Лапла́с (фр. Pierre-Simon Laplace; 23 марта 1749 — 5 марта 1827) — выдающийся французский математик, физик и астроном; известен работами в области небесной механики, дифференциальных уравнений, один из создателей теории вероятностей.

Сейчас, после доказанной А. М. Ляпуповым центральной предельной теоремы, стало уже ясным, почему этот нормальный закон широко распространен в технике, биологии, социологии, психологии и многих других сферах человеческих знаний.

Ляпунов Александр Михайлович [25.5(6.6). 1857, Ярославль, — 3.11.1918, Одесса], русский математик и механик, академик Петербургской АН.

Центральная предельная теорема утверждает, что всегда, когда случайная величина образуется в результате сложения большого числа независимых случайных величин с конечными дисперсиями, закон распределения этой случайной величины оказывается практически нормальным законом. А поскольку случайные величины всегда порождаются бесконечным количеством причин, и чаще всего ни одна из них не имеет дисперсии, сравнимой с дисперсией самой случайной величины, то большинство встречающихся в практике случайных величин подчинено нормальному закону распределения.

Например, рост человека, на который оказывают влияние очень много факторов, среди которых в массе нет доминирующих по своему влиянию.

Нормальное распределение, также называемое гауссовским распределением или распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения:

где параметр μ — среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и указывает координату максимума кривой плотности распределения, а σ² — дисперсия.

f(x)

 

x

μ

Плотность распределения вероятностей нормального закона, причем,

1,2 - графики с одним средним μ и разными стандартными отклонениями σ , причем,

σ ₁ < σ_2.

График плотности вероятности нормального закона распределения симметричен относительно вертикальной прямой x _max = μ. Причем, в точке

x _max = μ функция имеет максимум, равный .

Кроме того, площадь под всей кривой f(x) равна 1, т.е. вероятность для х попасть на прямую равна 1, и это событие достоверное. Это свойство еще называется условием нормировки.

Меняя μ, можно совершать параллельный перенос кривой f(x) вдоль оси х. Видно также, что наиболее вероятно появление числа х в эксперименте вблизи μ : площадь под f(x)на любом отрезке, содержащем μ, самая большая.

Число σ есть среднее отклонение числового показателя х от числа μ, чем меньше σ, тем “круче” становится “холм” f(x) и тем меньше вероятность для х сильно отличаться от µ.

Наоборот, при больших σ “холм” f(x) растекается по “равнине” и с почти равной вероятностью х может появиться как вблизи μ, так и сколь угодно далеко от μ .

 

 

Правило « трёх сигм»

Вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую, чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.

 

Расчеты показали, что вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервалы значений следующие:

I. Р (µ-σ< x< µ+σ )= 68,26%

II. P (µ-2σ< x< µ+2σ )= 95,44%

III. Р (µ-3σ< x< µ+3σ ) = 99,72%

На практике считается, что если для какой – либо случайной величины выполняется правило трех сигм, то эта случайная величина имеет нормальное распределение.

Распределение Гаусса − одно из самых распространенных в физике. Такому распределению подчиняются ошибки измерения физических величин, результаты стрельбы по мишени, распределение проекций скоростей молекул газа (распределение Максвелла), вероятность малых флуктуаций и многое другое.