Формирование равномерного поперечного распределения

Есть два метода решения ОЗ – это метод итераций, по к-му строятся обычно все ГФ, и аналитический метод, в цил.ф-ях. По типу обратной задачи находится значительно более простое решение. СЛайд 8 – РАСЧЕТ ГФ

4.10. РАСЧЕТ ГРЕБЕНЧАТОГО ФИЛЬТРА

Глубинное распределение поглощенной дозы определяется путем решения интегрального уравнения Вольтерра 1 рода [Корн], имеющего неограниченное ядро:

x

D(x) = c ò Ф(s)ds/(x-s)a= F(x); R-L < x < R, (1)

где переменные х и s отсчитываются от конца пробега R протонов, L - длина “плато”, или расширенного дозного максимума модифицированной кривой Брэгга, соответствующей функции F(x) в п.ч. уравнения (1).Число протонов, прошедших через элементарный участок фильтра, пропорционально площади элемента участка с шириной dt, а их остаточный пробег равен (х–s). Следовательно, вклад этих частиц в поглощенную дозу равен ядру интеграла c(x-s)-a, a число частиц Ф(s)ds с пробегом от s до s + ds примем равным просто dt .

Решение уравнения Вольтерра находится путем интегрирования уравнения (1) [Корн]. Получим:

X

Ф(x) = k [F(0)/x 1-a+ ò F’(s)ds/(x-s) 1-a ]. (1а)

Решение уравнения (1) представляет собой решение обратной задачи [Тихонов] для дозиметрического планирования и выражается в виде спектра пробегов Ф(s) протонов, прошедших через устройство формирования спектра протонов, которое представляет собой гребенчатый фильтр (ГФ) или другое эквивалентное ему устройство. Форма сечения элементов (пластин, жалюзей) ГФ представляется функцией у(t). На рис.1 эта форма наложена на кривую Брэгга, и поэтому для точки с координатой у = R-x смысл написанных формул состоит в том, что элемент фильтра с координатой t дает вклад в спектр пробегов, или спектральную полосу dt = Ф(s)ds. Таким образом Ф(s) = dt / ds, или Ф(x) = dt / dx.

Если форма поперечного сечения фильтра определяется функцией

у ~ t 1/a , то t ~ ya, (2)

Ф(у) ~ dt/dy ~ ya-1.

Таким же является решение уравнения (1)

Ф(х)=const*F(0) / x 1-a. (2а)

В качестве 1-й итерации принимается то же условие, что и для задачи в целом: в области дозного максимума функция F(х) постоянна (отклонения от этой постоянной величины неизбежны в реальных условиях, но они будут учтены только в следующих приближениях). Проведенные выкладки имеют простую геометрическую интерпретацию: практически форма фильтра может быть получена делением ординат требуемого дозного распределения на ординаты кривой Брэгга.

(Число протонов, прошедших через элементарный участок фильтра, пропорционально площади элемента участка с шириной dt, а их остаточный пробег равен (х–s). Следовательно, вклад этих частиц в поглощенную дозу равен ядру интеграла c(x-s)-a, a число частиц Ф(s)ds с пробегом от s до s + ds примем равным просто dt)

Вообще приведенное решение можно связывать с обратными задачами, и это решение в общем виде некорректно. Но если ядро такое, а в правой части функция, производные от которой не больше, чем у расположенной ниже кривой Брэгга, то такое решение уже корректно по 3-му признаку.

Достаточно очевидно также, что рассчитанный профиль фильтра Ф(х) – это и есть “материализованная” форма спектра пробегов, которая соответствует энергетическому спектру протонов. Эта форма (СЛАЙД 9) наложена на кривую Брэгга. Для точки с координатой у = R-x смысл написанных формул состоит в том, что каждый элемент фильтра с координатой t дает вклад в спектр пробегов, равный dt = Ф(s)ds. Таким образом Ф(s) = dt / ds, или Ф(x) = dt / dx.

Форма поперечного сечения фильтра – это интегральное распределение пробегов, которое определяется функцией

у ~ t 1/a , t ~ ya; Ф(у) ~ dt/dy ~ ya-1. (2)

Таким же является решение уравнения (1), так как в случае дозного максимума производная под интегралом равна нулю, и поэтому

Ф(х)=const*F(0) / x 1-a. (2а)

Из формулы (2а) вытекает способ подобного преобразования кривых с плоским плато (а фактически – с плато различных, возможно любых форм). Регулировка длины дозного максимума поворотом фильтра была установлена ранее и снова подтвердилась на опытном образце ГФ. СЛАЙД 10 - 11 easyplots