Полная аппроксимация модифицированной кривой Брэгга

Для облучения крупных мишеней всегда формируется глубинное дозное распределение с протяженным максимумом, которое мы будем называть областью дозного максимума, или плато дозного распределения (ПДР), модифицированный пик Брэгга SOBP (spread-out Bragg peak), ограничивая его 80 или 90% изодозой.

Область “транзита” пучка от входа до начала области плато – дозного максимума, будет именоваться транзитной, или проксимальной зоной пучка.

 

Предлагаемый вид глубинного дозного распределения, показанный на рис.7-8, состоит в его делении на 5 частей; по порядку: 1 – основная проксимальная часть со степенным характером зависимости, характеризующаяся постепенным нарастанием дозы; 2 – дополнительная проксимальная часть, закругленная по типу косинусоиды; 3 - основная часть, ПДР, или SOBP – это область максимума дозы, совмещаемого с мишенью; 4 – основная дистальная часть, снова типа косинусоиды; 5 – дополнительная дистальная часть, совсем малый отрезок, но снова со степенным законом снижения дозы до исчезающе малых значений. 2 и 4-я зона уже описаны уравнением (3), которое не выполняется только при дозах уже ниже ~5%.

 

3. Аппроксимации в радиационной физике

Математический подход в физике нередко принимает форму аппроксимаций.

Ввиду этого элементом новизны в данном изложении является выяснение границ применимости для данной области хорошо известных в атомной физике способов аппроксимации вычислительных методов.

(см. превосходный курс В.С.Ремизовича с соавт. МИФИ []. )

Нет такой ступени в оценках или расчетах радиационной физики, которая не проводилась бы в рамках тех или иных приближений, ограничивающих описание реальной действительности.

Борновское приближение часто применяется в квантовой механике для вычисления дифференциальных сечений рассеяния быстрых частиц. Оно ограничено условием: скорость ч-цы v=bc больше скорости атомных электронов v_ат (даже много больше при необходимости ограничиться выбором 1-го члена в ряду квантово-механических возмущений). В этом случае справедливы хорошо известные нам выражения для потерь энергии на ионизацию и возбуждение атомов. В модели атома Томаса-Ферми

v_ат ~ (c/137) Z^2/3 (01).

Отсюда получаем, что энергия протонов не меньше 0.6 МэВ, а для электронов это еще в 1836 раз меньше (300 эВ). Это вносит неуверенность в такие, казалось бы, устоявшиеся данные, как точность описания формы кривых Брэгга. Отсюда возникает условие «энергия протонов больше 0.6 МэВ»; у Ремизовича – «много больше» (это так). Над ошибками вряд ли задумывались, а сейчас эти данные как бы хрестоматийные, и все же…

Приближение непрерывного замедления (CDSA, ПНЗ).При ионизации происходят неупругие соударения частицы с атомами среды, и благодаря огромному эффективному сечению s_n (радиус атомов ~10^{-8 см) длина свободного пробега частицы ничтожна. Процесс соударений в 1-м приближении непрерывен. Максимальная энергия передается атому в лобовом свободном столкновении, и она равна}

Е_m= 2 Mс²b²/(1-b²). (02)

При неупругом столкновении с заряженной частицей атом переходит в состояние e_n, энергия частицы уменьшается на e_n- e_о. (Вообще говоря, атомы возбуждены - из-за теплового «электронного» движения в равновесии их энергия e_о, в единицах массы электрона mc²). Зная сечение неупругих столкновений s_n, можно рассчитать среднее число неупругих столкновений на единице пути, то есть тормозную способность среды:

<e(Е)> = n_оS(e_n- e_о)s_n(Е), (03)

ⁿ

где n_о – число атомов в единице объема в-ва, связанное с плотностью вещества r через атомную массу А и число Авогадро N_A=6.02*10²³ г/моль

n_о = r N_A /A. (04)

Величина <e(Е)> имеет размерность силы, и ее можно рассчитать как среднюю силу, действующую на частицу при ее движении в веществе. Это не просто формальное утверждение, и именно в этих стенах наша лаборатория впервые установила, что короткий импульс протонного пучка заставляет «звенеть» металлический блок, а величина сигналов точно пропорциональна потерям энергии [].

Итак, в задачах теории переноса частиц величина <e(Е)> является наиболее важной характеристикой процесса неупругих ст-й. Но она описывает лишь систематические потери энергии частиц. Поэтому рассчитаем еще флюктуацию этой величины

<e²(Е)> = n_оS(e_n- e_о)²s_n(Е) (05)

n

При определении поглощенной дозы (вот здесь мы начали переходить на язык дозиметрии!) рассматриваются довольно толстые слои вещества, в данном случае рабочего материала детектора. Пусть это модель тканевой среды, «фантом», с пластинками в 0.1-1 мм, например, химический дозиметр Фрике, представляющий собой водный раствор, содержащий ионы железа Fe²⁺, которые окисляются до Fe³⁺.

Таким образом, нас интересует флюктуация (03) на отрезке длины 0.1 мм. Она должна быть много меньше, чем сама величина <e(Е)> - это и есть условие применимости ПНЗ. За пределами этого условия мы обязаны учитывать тот факт, что энергия передается порциями, а не непрерывно. Поэтому нам необходимо “продираться” через условия многих пр-й. Итак, главным результатом ПНЗ является введение понятия пробета частицы и определение соотношения пробег – удельные потери энергий. Вместе с тем нужно соблюдать осторожность, в особенности при употреблении соот-х таблиц для электронов, когда условия ПНЗ уже нарушаются, и транспортная длина пробега частиц не совпадает с длиной их пробега, которая из разряда “теоретической”, то есть расчетной величины переходит в таблицы, рекомендуемые для вполне практического применения [].

 

Приближение Фоккера-Планка – диффузионное (ПФП). Заслугой ПНЗ является создание обширных таблиц энергия – пробег – потери энергии. Однако кривые Брэгга и даже многократное рассеяние можно считать только в сл-м пр-ии, и для обоих этих вариантов рассмотрим соотв-е условия выполнимости этого пр-я что [ , c 94]. Естественно будет рассм-ть энергию, теряемую при одном столкновении, поделив (03) на n_о Ss_n(Е):

<e(Е)> _ст = [S(e_n- e_о)s_n(Е)] /Ss_n(Е). (06)

Флюктуация энергии при одном столкновении получится, если поделить (06) на ту же величину n_о Ss_n(Е)

<e²(Е)> _ст = [S(e_n- e_о)²s_n(Е) ] /Ss_n(Е). (06).

Определение этой величины – довольно сложная задача, и приведем лишь ее результат в виде поправки к потерям энергии по ПНЗ при учете энергии связи атомных эл-нов, то есть по ПФП, что показано в виде поправочного к-та в таблице 1.6 []. Для воды поправки ПФП важны, и даже при энергии протонов 50 МэВ это около 4%, при 10 МэВ – между 7 и 17% и при 2 МэВ – около 30%. Эти поправки учтены в расчетах и их результаты в определенные моменты времени были пересмотрены и таблицы Джанни уже нельзя приписывать ПНЗ – это тоже проделано в условиях ПФП.

Таким образом, рассмотрены энергетические моменты ПФП, но рассеяние частиц требует особого подхода. Из-за малости длины волны частицы по сравнению с радиусом ядра, возникает ограничение на углы рассеяния при одном ст-ии угол рассеяния меньше радиуса ядра q<~l/r_яд, и это и есть условие применимости ПФП по углу рассеяния. Эти вопросы входят в условия теории многократного кулоновского рассеяния Ферми – Эйджеса, и пока приведем только их итог[ , c 98]. Для протонов с энергией 20 МэВ в свинце учет флюктуаций дает поправку в средний квадрат угла рассеяния 3%, и среды с меньшими Z пока можно оставить в стороне.

Приближение на «хвосте» Ландау – сс 39-45, 224.

В тонких слоях не выполняется условие ПФП T-T_o>>E_max

Z <e(Е)>><e(Е) E_max

E_max - e_ат<<T_о –T<< T_о.