Решение.

Построим таблицу значений факторных переменных Х₂ = ln A, Х₃ = ln k и результативной переменной Y= ln q.

T	X₂	Х₃	У	Х	Х	У	Х Х
	0,1798	1,1939	-0,1278	0,032 328	1,425 397	0,016 333	0,214 663
	0,2038	1,2030	-0,1009	0,041 534	1,447 209	0,010 181	0,245 171
	0,1807	1,1878	-0,1290	0,032 652	1,410 869	0,016 641	0,214 635
	0,1914	1,1314	-0,1404	0,036 634	1,280 066	0,019 712	0,216 550
	0,2608	1,0986	-0,0823	0,068 017	1,206 922	0,006 773	0,286 515
	0,2994	1,0543	-0,0587	0,089 640	1,111 548	0,003 446	0,315 657
	0,3570	1,0006	-0,0182	0,127 449	1,001 200	0,000 331	0,357 214
	0,3471	0,9969	-0,0294	0,120 478	0,993 810	0,000 864	0,346 024
	0,3681	1,0225	0,0000	0,135 498	1,045 506	0,000 000	0,376 382
	0,4148	0,9783	0,0334	0,172 059	0,957 071	0,001 116	0,405 799
ВСЕГО	2,8029	10,8673	-0,6533	0,856 289	11,879 598	0,075 397	2,978 610
СРЕДНЯЯ	0,28029	1,08673	-0,06533	0,085 628 9	1,187 959 8	0,007 539 7	0,297 861

t	Х У	Х У	У= + + Х + + Х	e=У-У	e²	(У- )²
	-0,022 978	-0,152 580	-0,128 74	0,000 94	0,000 000 88	0,004 021
	-0,020 563	-0,121 383	-0,100 59	0,000 31	0,000 000 10	0,001 243
	-0,023 310	-0,153 226	-0,130 09	0,001 09	0,000 001 19	0,004 194
	-0,026 873	-0,158 849	-0,140 20	0,000 20	0,000 000 04	0,005 606
	-0,021 464	-0,090 415	-0,080 97	0,001 33	0,000 001 77	0,000 245
	-0,017 575	-0,061 887	-0,057 79	0,000 91	0,000 000 83	0,000 057
	-0,006 497	-0,018 211	-0,018 56	0,000 36	0,000 000 13	0,002 187
	-0,010 205	-0,029 309	-0,030 14	0,000 74	0,000 000 55	0,001 238
	0,000 000	0,000 000	0,001 09	0,001 09	0,000 001 19	0,004 412
	0,013 854	0,032 675	0,032 65	0,000 75	0,000 00056	0,009 600
ВСЕГО	-0,135 611	-0,753 185			0,000 00724	0,032 803
СРЕДНЯЯ	-0,013 5611	-0,075 318 5			0,000 000 724	0,003 280 3

1. Найдем коэффициенты уравнения линии регрессии

Y= + Х + Х

Как решение системы уравнений

= + +

-0,065 33 = + 0,280 29 + 1,086 73

-0,013 56 = 0,280 29 + 0,085 63 + 0,297 86

-0,075 32 = 1,086 73 + 0,297 86 + 1,187 96

Решая систему методом Гаусса получим (решение следует привести в тетради):

= -0,7614; = 1,0305; = 0,3747.

Уравнение регрессии имеет вид:

У= -0,7614 + 1,0305Х₂ + 0,3747Х₃.

Далее найдем дисперсии переменных У, Х₂и Х₃, а также попарные ковариации этих переменных:

0,085 629 – (0,280 29)²= 0,007 066;

1,187 960 – (1,086 73)²= 0,006 978;

0,007 540 – (-0,065 33)²= 0,003 272;

Cov(Х ;У) = - × = -0,013 561 1 – 0,280 29 ×(- 0,065 33) = 0,004 750;

Cov(Х ;У) = - × = -0,07 531 85 – 1,086 73 × (- 0,065 33) = -0,004 322;

Cov(Х ;Х ) = - × = 0,297 861 – 0,280 29 ×1,086 73 = -0,006 739.

2) Найдем общую дисперсию, объясненную и необъясненную регрессией дисперсии по формулам:

общая дисперсия

= D(y) = 0,003 272;

необъясненная регрессией часть дисперсии

× 0,000 007 24 = 0,000 000 724

объясненная регрессией часть дисперсии

×0,032 803 = 0,003 280 3

3) Найдем коэффициент детерминации

1 - = 0,999 8;

Скорректированный коэффициент корреляции найдем по формуле:

1 - = 0,999 7.

Значение скорректированного коэффициента корреляции близко к единице, значит скорее всего имеется высокая степень линейной зависимости значений У от факторных величин Х и Х .

Однако следует проверить наличие корреляции между факторами Х и Х . Для этого найдем частные коэффициенты корреляции.

4) Сначала найдем коэффициенты корреляции для парных регрессий по формулам:

r (x₂; y) = = = 0,977 5;

r (x₃; y) = = = 0,819 0.

Коэффициент частной корреляции между Уи Х при исключении влияния Х найдем по формуле:

r (у;x₂_½х₃ ) = = = 0,9989.

Коэффициент частной корреляции между Уи Х при исключении влияния Х найдем по формуле:

r (у;x₃_½х₂ ) = = = 0,9911.

Коэффициенты частной корреляции близки к единице, значит связь между У и факторами Х и Х тесная.

5) Проверим значимость линейной модели в целом. Для этого на уровне доверия 95% проверим нулевую гипотезу

Н: a₂= a₃=0

об отсутствии линейной зависимости между У и факторами Х и Х . Для этого рассмотрим F-статистику

F = = = 17 496,5.

Найдем критическое значение F-статистики:

F_с = F(k-1;n-k) = F(3-1;10-3) = F(2;7)

а) по таблице распределения Фишера при 95% уровне доверия находим

F_c = 4,74

Поскольку F>F_c, то гипотеза Н: a₂= a₃=0 с вероятностью 95% отвергается и принимается альтернативная гипотеза о значимости линейной регрессии

6) Найдем доверительные интервалы для параметров регрессии.

Составим матрицу

Q = n× = 10×

Определитель этой матрицы D = 0, 004

Найдем диагональные элементы матрицы Q^-1:

q₁₁ = ×( ) = ×(0,101724 – 0,088721) =325,06;

q₃₃ = ×( ) = ×D(Х₂) = ×0,006 978 = 174,45;

q₂₂ = ×( ) = ×D(Х₃) = ×0,007 066 = 176,65;

Используя t-статистику получим доверительные интервалы для коэффициентов a₁, a₂, a₃

на доверительном уровне 95%:

a_m Î ( - t_c × ; + t_c × ),

где m = 1,2,3.

Критическое значение t_c = t(n-k; 0,95) = t(10-3; 0,95) = t(7; 0,95) найдем по таблицам распределения Стьюдента

t_c = 2,365;

Несмещенную оценку S² дисперсии ошибок ² найдем по формуле:

= = 0,000 001 03

Отсюда

t_c × = 0,0434; t_c × = 0,0320; t_c × = 0,0318.

В результате получим доверительные интервалы на уровне доверия 95%:

a₁ Î (-0,7614 – 0,0434; -0,7614 + 0,0434), т.е. a₁ Î (-0,8048; -0,7180 );

a₂ Î (1,0305 – 0,0320; 1,0305 + 0,0320), т.е. a₂ Î (0,9985; 1,0625 );

a₃ Î (0,3747 – 0,0318; 0,3747 + 0,0318), т.е. a₃ Î (0,3429; 0,4065 ).

7) Проверим значимость регрессии. Для этого на уровне значимости 95% проверим гипотезы

Н₁: α₁= 0; Н₂: α₂= 0; Н₃: α₃= 0.

Составим – статистики

; ;

и найдем их значения:

, ,

Сравнивая полученные значения -статистик с критическим получим, что , , , т.е. все три гипотезы Н₁, Н₂ и Н₃ должны быть отвергнуты на уровне доверия 95% и приняты альтернативные гипотезы, т.е. с вероятностью 95% все три коэффициента α₁, α₂, α₃значимы.