Метод Гаусса
Метод Гаусса относится к точным методам, однако вычислительная ошибка присутствует всегда (ошибка округления и, возможно, ошибка исходных данных).
Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:
Алгоритм состоит из двух этапов.
I. Прямой ход – приведение матрицы к треугольному виду (сверху вниз):
II. Обратный ход – определение неизвестных (снизу вверх).
Ручные вычисления по схеме единственного деления оформляют в виде таблицы с контролем вычислений, для чего в таблицу включены
· столбец контрольных сумм S,
· столбец сточных сумм S.
Контроль в прямом ходе:
· После внесения коэффициентов при неизвестных и свободных членов исходной системы находят контрольные суммы (суммы коэффициентов и свободных членов по строкам) и вносят их в столбец S.
· Далее, выполняя преобразования, над контрольными суммами производятся те же преобразования, что и над свободными членами.
· После выполнения каждого преобразования находят строчную сумму результатов и помещают ее в столбец S.
· При отсутствии вычислительных ошибок числа в столбцах S и S должны практически совпадать.
Контроль в обратном ходе:
При безошибочном выполнении вычислений в столбце S должны быть на единицу больше соответствующих значений неизвестных из столбца свободных членов
Рассмотрим примеры решения СЛУ методом Гаусса
Разделы | x1 | x2 | x3 | св чл | сумма | S |
3,25 | 14,52 | -1,32 | 367,58 | 384,03 | ||
32,02 | -4,36 | 5,73 | 516,91 | 550,3 | ||
А | 7,21 | 11,92 | -41,46 | -886,32 | -908,65 | |
4,4677 | -0,4062 | 113,1015 | 118,1631 | 118,163 | ||
-147,4158 | 18,7365 | -3104,6000 | -3233,2825 | -3233,2793 | ||
-20,2921 | -38,5313 | -1701,7818 | -1760,606 | -1760,6052 | ||
А1 | -0,1271 | 21,0602 | 21,9331 | 21,9331 | ||
-41,1104 | -1274,4261 | -1315,5373 | -1315,5365 | |||
А2 | 31,0001 | 32,0001 | 32,0001 | |||
31,0001 | 32,0001 | |||||
В | 25,0003 | 26,0003 | ||||
13,9999 |
Невязки | e1= | 367,58 | - | 367,583899 | = | -0,003899 |
e2= | 516,91 | - | 516,906063 | = | 0,003937 | |
e3= | -886,32 | - | -886,321291 | = | 0,001291 |