Решение задач.

Задача 1.

Введем обозначения. Пусть – переменная, указывающая на период времени, за который рассчитан соответствующий объем продаж. Поскольку с математической точки зрения невозможно производить какие-либо преобразования с переменной, принимающей значения вида – 1 п/г 2006г., 2 п/г 2006г. и т.д., то в дальнейшем в качестве значений переменной будем использовать порядковые номера соответствующих периодов. Кроме того, пусть – объем продаж в период . Имеем:

 

Значения переменных. Таблица 2

 

Разложим уровни временного ряда на составляющие:

 

1. Тренд – это компонента временного ряда, отражающая основную тенденцию изменения объемов продаж. Применительно к данной задаче под трендом можно понимать рост средних объемов продаж зимней одежды в год, связанный с открытием новых точек продаж, формированием положительного имиджа фирмы, широкой рекламной компанией и т.п.

 

1. Сезонность – это компонента временного ряда, отражающая повторяемость экономических процессов в течение небольших промежутков времени (не более года). Применительно к данной задаче под сезонностью можно понимать ежегодное увеличение объемов продаж во втором полугодии по сравнению с объемами продаж в первом полугодии этого же года. Это увеличение связано не с общим ростом средних объемов продаж, а с соответствующими климатическими условиями, обуславливающими необходимость покупать зимнюю одежду до наступления зимы, с одной стороны, и психологией большинства покупателей, не желающих задумываться об этом заблаговременно (например, весной) с другой стороны. По этим причинам сезонные колебания спроса повторяются каждый год, т.е. каждое первое полугодие наблюдается снижение объемов продаж относительно среднего уровня продаж текущего года, а каждое второе – увеличение. Для того чтобы подчеркнуть, что однотипное влияние сезонности повторяется каждый второй период (а не каждый четвертый, если используются квартальные данные, и не каждый двенадцатый, если используются месячные данные), с математической точки зрения говорят, что параметр сезонности равен .

 

1. Случайность – это компонента временного ряда, отражающая влияние всех оставшихся факторов, которые не поддаются учету или влиянием которых можно пренебречь.

 

Представим уровни временного ряда в виде суммы рассмотренных составляющих временного ряда, т.е. будем использовать аддитивную модель вида: . Другими словами, для данной задачи каждое значение переменной необходимо представить в виде суммы трех чисел таким образом, чтобы:

Ø последовательность всех чисел образовывала монотонно возрастающую последовательность, отражающую рост средних объемов продаж, причем должно быть четко задано правило вычисления элементов этой последовательности, как для текущих значений , так и для будущих, что позволит легко получать прогнозные значения тренда.

 

Ø последовательность всех чисел представляла собой чередование всего двух чисел, отражающих величину повторяющихся сезонных колебаний в первом и втором полугодиях каждого года.

 

Ø последовательность всех чисел не содержала какой-либо ярко выраженной закономерности (в противном случае это уже не будет случайность) изменения чисел, которые, в свою очередь, должны быть по возможности небольшими, иначе их влиянием уже нельзя будет пренебречь, поэтому надо будет рассмотреть вопрос о корректности нашей логики рассуждений.

 

Так как все пожелания к значениям составляющих временного ряда выражены качественным образом (т.е. не количественным), то это порождает бесконечное количество возможных вариантов решения поставленной задачи. При этом многие варианты в принципе не противоречат друг другу и расходятся лишь в незначительных нюансах, определить справедливость которых с экономической точки зрения не представляется возможным. Вот здесь и приходит на помощь эконометрика, предлагающая ряд алгоритмов, моделей, в которых принципиальные моменты задаются непосредственно исследователем, а вопросы с нюансами решаются, как правило, с помощью не экономических, а математических методов.

 

В частности, одним из методов предварительной, неточной оценки трендовой составляющей является метод скользящих средних. Идея этого метода очень проста. Начнем по порядку. Так как тренд отражает средние объемы продаж за год, то давайте и рассчитаем эти средние значения для каждого года: три года – три средних значения. Поскольку в этом случае мы прыгаем от одного года к другому, то полученные таким образом средние можно было бы назвать «прыгающими». Недостатком этой идеи является небольшое количество получаемых значений, поэтому предлагается находить средние значения не только для полугодий, принадлежащих к одному и тому же году, но и для соседних полугодий, принадлежащих к разным годам. Первая средняя рассчитывается на основе объемов продаж за 1 и 2 полугодие, вторая – за 2 и 3 полугодие, третья – за 3 и 4 полугодие и т.д. Поскольку, выбирая соответствующие пары чисел, мы «скользим» по временному ряду, то получаемые средние называются скользящими. Число усредняемых значений называется порядком скользящей средней, который, в случае наличия сезонных колебаний, рекомендуется брать равным параметру сезонности .

 

Итак, найдем предварительные оценки трендовой компоненты с помощью скользящих средних второго порядка . Расчеты представим в таблице 3. Значения скользящих средних второго порядка представлены в столбце 4 таблицы 3:

 

, и т.д.

 

Оценка значений трендовой компоненты. Таблица 3

	№ п/г в году
				–	–
				-420
				-400
			–	–

Существенным недостатком полученных результатов является то, что найденные значения скользящих средних относятся к промежуточным моментам времени, что не позволяет сопоставить их с исходными уровнями ряда . Такая ситуация характерна для всех скользящих средних четного порядка, поэтому в этом случае рекомендуют повторно усреднить полученные значения с помощью скользящих средних второго порядка (порядок выбирается независимо от порядка первоначальных скользящих средних, чтобы максимизировать число получаемых средних). Новые средние значения будут соответствовать исходным моментам времени, поэтому они и будут использоваться в качестве искомых оценок трендовой компоненты.

Оценки трендовой компоненты представлены в столбце 5 таблицы 3:

, и т.д.

Итак, метод скользящих средних позволяет существенно сгладить колебания объемов продаж, что позволяет оценить их средний уровень. Однако при использовании данного метода не были найдены значения трендовой компоненты для первого и последнего полугодий и, более того, отсутствует правило, по которому можно было бы заполнить эти пробелы и получить прогнозные значения на будущее. По этой причине полученные оценки считаются предварительными, неточными и используются только для оценки величины сезонных колебаний.

return false">ссылка скрыта

Для оценки величины сезонных колебаний исключим тренд из исходных уровней ряда. Из аддитивной модели следует, что для этого надо вычесть значения трендовой компоненты (столбец 5 таблицы 3) из соответствующих уровней временного ряда (столбец 3 таблицы 3) . В результате в столбце 6 таблицы 3 получены значения, отражающие влияние сезонной и случайной компоненты. Анализ этих значений показывает наличие ярко выраженной периодичности их изменений, величина которых немного искажена случайной компонентой временного ряда. Для устранения влияния случайной компоненты предлагается усреднить значения, относящиеся к первым полугодиям временного ряда, и значения, относящиеся ко вторым полугодиям. Логика здесь проста. Поскольку отклонения любых значений от их средних уровней являются минимально возможными по абсолютной величине, то выбирая величины сезонных колебаний равными соответствующим средним значениям, формально удается минимизировать влияние случайности.

Расчеты представим в таблице 4.

Оценка значений сезонной компоненты. Таблица 4

Период	1 п/г	2 п/г
1 год	–
2 год	-420
3 год	-400	–
Среднее	-410
	-412,5	412,5

Итак, в таблице 4 значения, полученные в столбце 6 таблицы 3, группируем по полугодиям и находим соответствующие средние значения. Обращаем внимание, что при нахождении средних сумму соответствующих значений делим на 2, а не на 3, поскольку в каждом столбце нам известно только два значения, а не три:

, .

В заключении полученные средние значения предлагается откорректировать таким образом, чтобы их сумма равнялась нулю. В этом случае сезонные колебания будут симметричны относительно тренда, или, другими словами, тренд будет отражать средний объем продаж, относительно которого наблюдаются сезонные колебания. Так как сумма полученных средних значений равна , то, вычитая из каждой средней одинаковые числа равные , окончательно находим оценки сезонных колебаний: – в первом полугодии; – во втором полугодии каждого года.

Зная значения сезонных колебаний, для аддитивной модели легко получить искомый ряд десезонализированных данных , который представлен в таблице 5.

 

Десезонализированный ряд данных. Таблица 5

	№ п/г
			-412,5	962,5
			412,5	1247,5
			-412,5	1182,5
			412,5	1147,5
			-412,5	1442,5
			412,5	1687,5