Собственные векторы и собственные значения

Предположим, что мы имеем отображение из пространства в пространство , задаваемое квадратной матрицей . В ряде задач бывает необходимо найти такой ненулевой вектор , что , где ­– вещественное число. Такое число называется собственным значениемматрицы , а вектор называется соответствующим этому собственному значению собственным вектором.

Попробуем найти собственное число и собственный вектор матрицы . Обозначим координаты искомого собственного вектора . Тогда из определения собственного вектора следует

Перенесем все неизвестные в левые части уравнений системы, и получим

Если главный определитель последней системы отличен от нуля, согласно формулам Крамера мы сможем получить только нулевые значения неизвестных, однако собственный вектор не должен быть нулевым. Остается только приравнять нулю главный определитель системы. Так как

, приравнивая главный определитель нулю, получим уравнение , называемое характеристическим уравнением.В нашем примере характеристическое уравнение имеет 3 корня. Найдем, например, собственный вектор, соответствующий собственному значению . Координаты этого вектора удовлетворяют системе причем одно из уравнений системы можно отбросить, так как оно получается из двух других. Из соотношений получим . Таким образом, собственный вектор, соответствующий собственному значению , с точностью до растяжения равен .

В общем случае, когда работаем с матрицей размера , характеристическое уравнение имеет вид .