N-мерные пространства.

n-мерным пространством мы будем называть пространство точек , каждая из которых задается n координатами: . Расстояние между точками и в таком пространстве определяется следующим образом: . В частности, формула для расстояния между точками используется при сравнении объектов с идеалом по n признакам.

Линейные отображения.

Линейным отображением векторного пространства в векторное пространство называется такое отображение, что для любых двух векторов и из пространства и любых двух вещественных чисел и справедливо:

.

Любое линейное отображение -мерного пространства в -мерное задается некоторой матрицей размера и наоборот, любая матрица размера задает линейное отображение -мерного пространства в -мерное.

Действительно, возьмем произвольную матрицу размера .Ее можно умножить на -мерный вектор , рассматриваемый в вида матрицы-столбца размером . Результатом умножения будет матрица-столбец размером , то есть, -мерный вектор . Имеем , где

, , .

То, что отображение, задаваемое умножением вектора на матрицу, является линейным, следует из свойств сумм и произведений матриц.

В частности, линейное отображение -мерного пространства на множество вещественных чисел (одномерное пространство) задается матрицей-строкой размера .