Плоские и планарные графы. Плоские карты. Теорема Эйлера.
Плоский граф – это граф, который нарисован на плоскости так, что никакие два его ребра не пересекаются.
Планарный граф – это граф, изоморфный плоскому графу.
На рисунке а) – планарный, но не плоский, граф, б) плоский граф.
Каждый плоский граф разбивает плоскость на грани: внутренние - ограниченные и внешнюю – неограниченную.
Изучение планарных графов было начато Эйлером в его исследованиях полиэдров. Следующая формула Эйлера – это классический результат в математике: 
, где 
– число вершин, 
– число ребер, 
– число граней полиэдра. Формула Эйлера справедлива и в более общем случае для плоской карты – связного плоского графа, рассматриваемого вместе со всеми его гранями.
Теорема. Пусть плоская карта имеет 
вершин, 
ребер и 
граней. Тогда имеет место следующее равенство:
. (1)
Доказательство. Применим индукцию по числу ребер .
Если 
, то формула (1) примет следующий вид: 
.
Допустим, что для всех плоских карт с числом ребер не больше формула (1) верна. Плоская карта с числом ребер 
получается из плоской карты с числом ребер двумя способами:
1) прибавлением новой вершины 
, которая соединяется ребром 
с одной из старых вершин;
2) соединением ребром двух не смежных вершин.
В первом случае формула (1) проверяется следующим образом:
.
Во втором случае появляется новая грань и формула (1) проверяется следующим образом:
.
Следствие 1. Если в 
-карте каждая грань образована циклом из 
вершин, то
. (2)
Доказательство. Число ребер, принадлежащих каждой грани равно . Значит, число вершин, подсчитываемых при каждой грани, равно 
. При этом каждое ребро подсчитывается дважды, поэтому число пересчитываемых вершин равно 
. Получим равенство 
. Подставим в (1) и найдем (2).
Теорема Куратовского. Граф планарен тогда и только тогда, когда не содержит подграфа, гомеоморфного 
или 
.
35. Полные графы. Граф K4 планарный и граф K5 не планарный.
Максимальным планарным графом называется планарный граф, который при добавлении любого ребра перестает быть планарным.
Из определения следует, что в максимально планарном графе все грани являются треугольниками (гранями с тремя вершинами):
если грань содержит четырехугольник (или многоугольник с большим числом сторон), то можно добавить ребро , не меняющее планарность графа, но лишающее свойства графа быть максимально планарным графом.
Пример. В следующий граф можно добавить только одно ребро, после которого этот граф обращается в граф .
Лемма. Если 
– планарный -граф и 
, то
.
Доказательство. Наибольшим числом ребер в плоском графе обладает граф, у которого все грани – треугольники. В максимальном планарном графе все грани – треугольники. Подставим в (2) 
. Получим 
.
Теорема. Графы не планарный.
Доказательство. Если (5,10)-граф планарный, то не выполняется лемма: 
.
36. Двудольные графы. Граф K2,3 планарный и граф K3,3 не планарный.
Граф 
называется двудольным
-графом, если множество вершин состоит из двух непустых частей 
, 
(
, 
), внутри которых нет ребер.
Если при этом все вершин из соединены со всеми вершинами из , то граф называется полным двудольным -графом и обозначается через 
.
Приведем полные двудольные графы с числом вершин не больше 4:
Максимальным планарным двудольным графом называется планарный двудольный граф, который при добавлении любого ребра перестает быть планарнымдвудольным графом.
Если – максимальный планарный двудольный граф, то каждая ее грань является четырехугольником:
Пример. В следующий граф можно добавить только одно ребро, после которого этот граф обращается в граф :
Лемма. Если – планарный двудольный граф, то -граф, то
.
Доказательство. Наибольшим числом ребер в плоском двудольном графе обладает граф, у которого все грани – четырехугольники. В максимальном планарном графе все грани – четырехугольники. Подставим в (2) 
. Получим 
.
Теорема. Графы и не планарные.
Доказательство. Если (6,9)-граф планарный, то не выполняется лемма: 
.