Разбиение множества на блоки по k элементов.

Говорят, что семейство множеств {M₁,…,M_k} является разбиением множества M на k блоков M₁,…,M_k, если M₁,…,M_k – непустые, попарно не пересекающиеся, подмножества множества M и объединение множеств M₁,…,M_k есть множества M. Число (или S(n,k)) всех разбиений n-множества M на k блоков называется числом Стирлинга второго рода.

Пример. Перечислим все разбиения множества {1,2,3,4} на 2 блока:

{{1}, {2, 3,4}},

{{2}, {1, 3,4}},

{{3}, {1, 2,4}},

{{4}, {1, 2,3}},

{{1,2}, {3,4}},

{{1,3}, {2,4}},

{{1,4}, {2,3}}

Мы видим, что .

Приведем рекуррентные формулы для числа Стирлинга второго рода:

;

, где n>0;

, где n>0, 1£k£n.

Непосредственно число Стирлинга второго рода вычисляется по следующей формуле: .

k n

Число всех разбиений n-множества M называется числом Белла B_n.

Ясно, что .

Примечание 1. Пусть |A|=m, |B|=n. Тогда число элементов:

· множества всех отображений множества A в B равно числу всех размещений с повторениями по m из n, то есть |B^A|=n^m;

· множества всех инъекций множества A в B равно числу всех размещений без повторений по m из n, то есть ;

· множества всех биекций множества A на B равно числу всех размещений без повторений по m из n, то есть n!;

· множества всех сюръекций множества A на B равно произведению числа всех перестановок n-множества B на число всех разбиений n-множества B на m блоков, то есть n!.

Любой многочлен от одной переменной можно представить как линейную сумму степеней переменной (базисных многочленов): , , , …

Примечание 2. Определим многочлены , , которые также являются базисными: .

Связь между двумя базисными многочленами устанавливается при помощи чисел Стерлинга первого и второго родов:

, .

Вместо «убывающих степеней» можно рассматривать «возрастающие степени»: .

, .