Формула включений и исключений для двух множеств.

По правилу суммы можно найти число элементов объединения двух непересекающихся множеств. Найти число элементов объединения двух пересекающихся множеств можно по формуле, сформулированной в следующей теореме.

Теорема. |AÈB|=|A|+|B|-|AÇB|.

Доказательство. Так как множества AB и B, а также AB и AÇB не пересекаются, (AB)ÈB=AÈB, (AB)È(AÇB)=A, то по правилу суммы

|AÈB|=|AB|+|B|,

|A|=|AB|+|AÇB|.

Из первого равенства по частям вычтем второе, получим

|AÈB|-|A|=|B|-|AÇB|.