Вариационные ряды и их характеристики.
Определение: Генеральной совокупностью называется совокупность объектов или наблюдений, все элементы которой подлежат изучению, при статистическом анализе.
Понятие генеральной совокупности аналогична понятию случайной величины.
Генеральная совокупность может быть конечной иди бесконечной.
Определение:Объектом генеральной совокупности называется число её объектов или наблюдений.
Определение: Выборочной совокупностью или выборкой называется часть объектов генеральной совокупности использованной для исследования.
Сущность выборочного метода в математической статистике заключается в том, что бы по определению части генеральной совокупности выборки судить о её свойствах в целом. Для того, что бы по выборке можно было судить о генеральной совокупности выборка должна быть репрезентативной.
Определение:Репрезентативная выборка обеспечивается случаем отбора её элементов, т. к. все элементы генеральной совокупности должны иметь одинаковую вероятность попадания в выборку.
Имеется 2 способа образования выборки:
1) повторная выборка (когда каждый элемент случайно обобранный и исследованный возвращается в общую совокупность и может быть отобран повторно);
2) бесповторная выборка (когда отобранный элемент не возвращается в общую совокупность).
Пусть некоторые признаки описания некоторой СВ X. Рассмотрим выборку объёма n из генеральной совокупности. Элементы этой выборки представляют собой значения СВ X. На первом этапе производится ранжирование выборки, т.е. , упорядочены по возрастанию.
Определение:Вариантами называются различные элементы выборки.
Определение:Частотой варианты называется число , показывающая сколько раз варианта встречается в выборке.
Определение:Относительной частотой варианты называется .
Определение:Пусть x – некоторое число, тогда, количество вариант , значение которой < x называется накопленной частотой .
Определение:Относительной накопленной частотой называется .
Определение:Вариационным рядом называется ряд вариант расположенных в порядке возрастания с соответственными частотами и относительными частотами.
Вариационный ряды бывают дискретные и интервальные.
Определение:Дискретным вариационным рядом называется ряд, который представляет собой выборку значений дискретной СВ.
Общий вид вариационного ряда:
Варианты: | x1 | X2 | … | xk |
Частоты: | m1 | M2 | … | mk |
Определение:Интервальным вариационным рядом называется ряд, который представляет собой выборку значений СВ.
Построенный интервал вариационного ряда можно разбить на полуинтервалы вида , т.е. произвести из группировку. Количество интервалов k рекомендовано выбирать по формуле Стерджеса: . Длина каждого интервала .
Подсчитывая количество значений попавших в каждый полуинтервал получаем значение :
Варианты: | … | |||
Частоты: | m1 | m2 | … | mk |
Для наглядности представления дискретного и вариационного ряда используются графические представления:
- Полигоны.
- Гистограммы.
- Камулянты.
Полигон служит для изображения дискретного вариационного ряда и представляет собой ломаную соединяющую точку с координатой , . Для интервального ряда используется полигон, который представляет собой ломаную соединяющую точки:
, .
Гистограмма служит для представления, только интервальных вариационных рядов и имеет вид ступенчатых фигур с прямоугольным основанием, который имеет длину интервала , а высота или .
Кумулянта представляет собой ломаную соединяющую точки с координатами , где - накопленные частоты или для интервалов вариационного ряда: точки .
Определение:Эмпирические функции распределения называются функциями вида: , - накопленные частоты.
Определение:Основной характеристикой вариационного ряда называется его среднее арифметическое или выборочное среднее: .
Для интервального ряда в качестве мы берём середину соответствия интервала.
Вариационный размах: .
Выборочная дисперсия: , , .
Выборочное среднее квадратичное отклонение: .