Основные соотношения при экспоненциальное распределении времени до отказа

 

В случае, когда все элементы одинаковы по надежности, а интенсивность отказа не зависит от времени (простейший поток отказов):

вероятность безотказной работы

P_C(t)= 1 – Q_C(t) = 1 – (1– exp(– λt) )ⁿ ; (3.4)

интенсивность отказов

 

λ_с(t) = [dP_C(t)/dt] / P_C(t) = n λ exp(– λt)*( 1– exp(– λt) )ⁿ/ P_C(t). (3.5)

 

Если элементы системы имеют идентичное экспоненциальное распределение времени до отказа и являются высоконадежными, т. е. q(t) << 1, то можно записать приближен­ную формулу:

(3.6)

Иначе говоря, для малых t распределение момента появления отказа параллельной системы хорошо приближается распределени­ем Вейбулла — Гнеденко с параметрами а = А, и р = п.

Среднее время безотказной работы параллельной системы в об­щем случае можно найти лишь путем численного интегрирования.

В случае экспоненциального распределения и идентичных элементов интегрирование функции вероятности безотказной ра­боты не вызывает затруднений. Действительно, используя (3.6), можно записать:

Введя новую переменную у = 1 - exp(-λt), можно записать

или окончательно

(3.7)

Следует отметить, что среднее время безотказной работы па­раллельной системы с нагруженным резервом растет довольно медленно с ростом числа резервных элементов. В табл. 3.1 приве­ден расчет для экспоненциального распределения, которое, кста­ти, дает еще относительно большой рост по сравнению с боль­шинством стареющих распределений. В то же время мы видим, что такой вид резервирования очень эффективен для повышения ВБР.

Таблица 3.1

 

Число элементов в параллельной системе	Относительный рост среднего времени работы системы
	2.88
	5.18
	6.48

 

Теоретически путем резервирования возможно добиться любой заданной вероятности безотказной работы. Но такой способ повышения надежности связан с существенным ростом материальных затрат. А с ростом кратности резерва возрастает сложность реализации контроля и управления в системе, что также сказывается на надежности.

 

3.3. Основные соотношения при условии равнонадёжности элементов

 

Э1

Определим безотказность объекта, состоящего из n параллельно сое­диненных элементов (рис.2).

 

Э1 - основной элемент

Э2….Эn - резерв

 

……

 

 

Рис.2. Структурная схема из n параллельно сое­диненных элементов

 

Вероятность отказа системы (ВОС) :

 

где q_i - вероятность отказа i-го элемента.

Если все элементы системы равнонадёжны, то

Q = qⁿ .

Вероятность безотказной работы (ВБР) системы:

 

.

При равнонадёжных элементах:

P = 1 -(1-p)ⁿ .

Из полученных выражений следует, что безотказность параллельно соединенных элементов всегда будет выше безотказности одного элемента. Выбирая соответствующее количество параллельных ветвей, можно с по­мощью относительно малонадежных элементов обеспечить высокую надеж­ность объекта (ЭВМ).