Общие соотношения

Основные соотношения для общего и раздельного резервирования

Параллельной называется система, которая сохраняет свою рабо­тоспособность до тех пор, пока работоспособен хотя бы один ее эле­мент. Предполагается, что все элементы находятся во включенном со­стоянии с самого начала.

В инженерной практике такой резерв называют нагруженным или горячим. Параллельная система, состоящая из n элементов, описывается при помощи блок-схемы надежности, представленной на рис. 1б.

В каждый момент времени функции системы выполняются ос­новным элементом, а в случае его отказа происходит мгновенное переключение на любой из исправных к данному моменту резерв­ных элементов.

Булева функция, удовлетворяющая этому требо­ванию, имеет вид

 

или

Вероятность безотказной работы невосстанавливаемой системы, состоящей из n параллельно включенных элементов, определяется через вероятность дополнительного события. Параллельно соединение элементов неработоспособно тогда, когда произошел отказ всех элементов.

Воспользовавшись правилом де Моргана, можно записать удобное выражение для структурной функции параллельной системы:

 

из которого следует выражение для ВБР в виде

Формула (2.25) имеет простое физическое объяснение: систе­ма отказывает при отказе всех ее элементов, а ВБР находится как вероятность дополнительного события.

Отметим следующие свойства параллельной системы:

с увеличением числа элементов системы ее надежность при прочих равных условиях повышается;

надежность системы в целом всегда выше, чем надежность любого из ее элементов (в том числе и наилучшего).

Таким образом:

 

 

Вероятность отказа системы

QC(t) =q1(t) q2(t)… qn(t) = (1–p1(t))(1–p2(t))…(1–pn(t)),

(3.1)

где q_i(t) – вероятность отказа, а р_i(t) – вероятность безотказной работы элемента i в течении времени t (i =1, 2, …, n).

 

Вероятность безотказной работы системы

PC(t)= 1 – QC(t) = 1 – (1–p1(t))(1–p2(t))…(1–pm(t)).

(3.2)

 

Учитывая, что плотность отказов f(t) = dQ(t)/dt, тогда

fс(t) = f1(t)q2(t)… qn(t)+ q1(t) f2(t)q3(t)… qn(t) + … + q1(t) q2(t)… qn-1(t) fn(t).

(3.3)

 

Интенсивность отказов системы λ_с(t)

.

Отказ системы наступает при отказе элемента с максимальным временем наработки до отказ t_С= mах (t₁, t₂, …, t_n).