Объем тела вращения

Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда объём тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , снизу (Рис. 10), определяется формулой:

. (11)

Рис. 10

Пример 15. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой , прямыми , и осью .

Решение: Сделаем чертеж (Рис. 11, 12).

Из условия задачи следует, что , . По формуле (9) получаем

.

 

Рис. 11

Рис. 11

Объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной прямыми и , осью Оу и графиком непрерывной на отрезке функции .

Если криволинейная трапеция ограниченна графиком непрерывной функции и прямыми , , , то объём тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси , равен:

. (12)

Рис. 12

Пример 16. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной линиями , , (Рис. 13).

Решение: В соответствии с условием задачи находим пределы интегрирования: , . По формуле (10) получаем:

 

.

Рис. 13