Доказательство.

Интегрирования по частям в определенном интеграле

Теорема 4. Если функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям:

.(5)

Так как , то функция является первообразной для функции . Тогда по формуле Ньютона–Лейбница получаем

, откуда

. (6)

Формула (6) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

Пример 8. Вычислить .

Решение: Положим , отсюда .

По формуле (4) находим

.

Пример 9. Вычислить .

Решение: Пусть , тогда . Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

.

Пример 10. Вычислить .

Решение: Полагая , определяем .

Следовательно,

[к полученному интегралу снова применяем формулу интегрирования по частям: ; следовательно: ] = =

.