Вычисления определенного интеграла

Формула Ньютона – Лейбница

Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке и - какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то имеет место формула:

.

Равенство называется формулой Ньютона-Лейбница. Используя краткое обозначение , эту формулу можно записать в виде

. (3)

Таким образом, вычисление определенного интеграла от непрерывной функции сводится к отысканию ее первообразной, то есть, по существу, неопределенного интеграла.

Нахождение определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два этапа:

1. На первом этапе находят некоторую первообразную для подынтегральной функции ;

2. На втором этапе находится разность значений этой первообразной на концах отрезка .

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение: Для подынтегральной функции произвольная первообразная имеет вид . Так как в формуле Ньютона-Лейбница можно использовать любую первообразную, то для вычисления интеграла возьмем первообразную, имеющую наиболее простой вид: . Тогда .

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение: По формуле Ньютона-Лейбница имеем:

.

Пример 3. Найдем интеграл. Поскольку , то по формуле Ньютона-Лейбница получаем .

Пример 4. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , осью и прямыми и , равна .