Интегрирование иррациональных функций.

Использование тригонометрических преобразований

Интегралы типа , , вычисляются с помощью известных формул тригонометрии:

1. Квадратичные иррациональности

Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные функции.

Интегралы типа , , называют неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей. Их можно найти следующим образом: под радикалом выделить полный квадрат и сделать подстановку . При этом два первые интеграла приводятся к табличным, а третий – к сумме двух табличных интегралов.

Пример 1. Найти интеграл .

Решение: Так как , то . Сделаем подстановку . Тогда .

Пример 2. Найти интеграл .

Решение: Тек как , то подстановка имеет вид .

Тогда,

.

Интегралы типа, где - многочлен степени n, можно вычислять, пользуясь формулой , где - многочлен степени с неопределенными коэффициентами, l - также неопределенный коэффициент.

Все неопределенные коэффициенты находятся из тождества, получаемого дифференцированием обеих частей равенства

, после чего необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной x.

2. Дробно – линейная подстановка

Интегралы типа , где – рациональная функция, a, b, c, d – действительные числа, – натуральные числа.

Интегралы такого вида вычисляются с помощью подстановки

,

где n – общий знаменатель дробей (наименьшее общее кратное чисел ). В результате этой подстановки подынтегральная функция преобразуется в рациональную.

Пример 3. Вычислить .

Решение:Положим ; тогда и