Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933.
Порядок соприкосновения кривых
Выражение центра и радиуса кривизны для явно заданной кривой
Понятие кривизны и ее вычисление
Рассмотрим концентрические окружности. Будем определять кривизну окружности радиуса R как величину k=1/R. Центром кривизны назовем центр окружности, а ее радиус – радиусом кривизны. Обобщим эти понятия на произвольную гладкую кривую. Рассмотрим гладкую кривую с параметризацией x(t), y(t), для краткости будем использовать обозначения:
x0=x(t0), x=x(t), y0=y(t0),y=y(t),u0=x¢(t0), u=x¢(t), v0=y¢(t0), v=y¢(t).
В процессе рассмотрения t0 будет фиксирована, а t будет рассматриваться, как текущая точка. Составим уравнения нормалей в точках(x0,y0), (x,y).
. .
Найдем точку пересечения этих прямых.
или
Умножим первое уравнение на u, а второе на–v и сложим.
(uv0 - vu0)p = u(x0-x) + v(y0 – y) откуда
.
Далее перейдем к пределу при t®t0 (u®u0, v®v0). Получим
.
Подставляя найденной значение параметра для предельной точки пересечения нормалей, получим координаты предельной точки
Полученная таким образом точка называется центром кривизны кривой в заданной точке, а расстояние от этой точки до центра кривизны называется радиусом кривизны.
Величина обратная радиусу кривизны называется кривизной
.
Рис. 5.6
Окружность с центром в (X0,Y0) и радиуса R0 называется соприкасающейся окружностью.
Рассмотрим кривуюg , заданную в виде y = f(x), xÎ[a,b]. В качестве параметризации выберем x = t, y = f(t), tÎ[a,b]. Тогда
Пусть g1 , g2 представлены функциями y=f1(x), y=f2(x) и пересекаются в точке(x0, y0). Кривые g1 , g2 имеют порядок соприкосновения n в точке (x0, y0), если
, для всех k=0,1,…,n, и .
Достаточными условиями для того, чтобы кривые имели порядок касания n являются следующие условия:
Функции n+1 непрерывно дифференцируемы в окрестности точки x0 и
Для доказательства обозначим f(x)=f2(x) - f1(x). Тогда в окрестности точки x0 имеет место разложение по формуле Тейлора с остатком в форме Лагранжа тогда
k=0,1,…,n+1.
Таким образом, будут выполнены условия из определения порядка касания.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 1. – М.: Наука, 1971.
2. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа.Т.1.– М.: Наука, 1968.
3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. – М.: Наука, 1966.
4. Никольский С. М. Курс математического анализа. Т.1. – М.: Наука, 1973.
5. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. Т.1. – М.: Высшая школа, 1973.
6. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1972.
7. Бугров Я. С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1988.
9. Колмогоров А.Н., Фомин С.В., Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1972.
10. Брудно А.Л., Теория функций действительного переменного. – М.: Наука, 1971.
11. Хавин В. П. Основы математического анализа. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной вещественной переменной. Издательство «Лань», 1998.
12. Маллас Дж. Реляционный язык пролог и его применение. – М.: Наука, 1990.