Предел вектор функции
Определение векторной функции. Операции над векторными функциями
Общая схема построения графиков
Можно рекомендовать следующую последовательность исследования поведения функции.
1° Область определения. Симметрия ( четность, нечетность ). Периодичность.
2° Асимптоты
3° Интервалы монотонности, экстремумы ( заполняется таблица, как показано ниже )
4° Дополнительные исследования ( если необходимо, выпуклость, точки перегиба, пересечение с осями и т. п. )
Замечание. Отыскание глобальных максимумов и минимумов на отрезке производится среди точек трех типов:
1) стационарные точки
2) особые точки (где не существует производная)
3) граничные точки.
Пример.
Асимптоты y/x®1, x®±¥
при x®±¥ .
Асимптота y=x-1
Особые точки ( в первом приближении только для первой производной ) 0,2,3
| t | (-¥,-1) | -1 | (-1,1) | (1,¥) | |
| + | + | - | |||
| x | -¥ -3 | -3 | -3 1 | 1 ¯ -¥ | |
| Диапазон x | (-¥,-3) | (-3,1) | (-¥,1) | ||
| dy/dx | - | + | + | ||
| y(x) | ¥¯-2 | -2 | -22 | -¥2 | |
| d2y/dx2 | +È | +È | -Ç |
Рис. 4.23
Пример. Исследовать поведение кардиоиды r = 2(1+ cos t)в окрестности точек t = 0, t = p .
= .
=
Для нахождения точек перегиба полезно методом сложения графиков построить приблизительно график функции . Из этого графика видно, что направление выпуклости меняется в районе точек и точки (из за знаменателя). Около точки числитель не меняет знак, а знаменатель меняет, так образом, это тоже точка перегиба.
Рис. 4.24
Рис. 4.25
Глава 5. Элементы теории кривых
5.1 Векторная функция скалярного аргумента
Кривые на поскости и в пространстве. Векторная функция.
На плоскости
, r(t)=x(t)i+y(t)j .
В пространстве
, r(t)=x(t)i+y(t)j +y(t)k.
Операции над вектор функциями
1) p(t), q(t) p(t)+ q(t).
2) l(t)r(t).
3) Скалярное произведение (p(t) , q(t)).
4) В трехмерном пространстве определено векторное произведение [ p(t) , q(t) ].
Определение
r(t)=a
Или, что тоже, |r(t) – a|=0 .
Замечание 1. Это определение не зависит от выбора базиса i , j , k.
Геометрическая интерпретация.
Рис. 4.26
Теорема. (Критерий существования предела вектор функции) Для существования предела
r(t) = aнеобходимо и достаточно существования пределов координат вектор функции
r(t) = a
Доказательство. Для заданного значения параметра t обозначим
r(t) = max{|x(t)-ax|,| y(t)-ay |,| z(t)-az |}. Для любого t справедливо неравенство
r(t) £ =|r(t) – a|.
С другой стороны |r(t)–a|=
£ r(t).
Из этих неравенств и следует требуемое утверждение.
Замечание 2. Для существования предела необходимо требовать, чтобы r(t) была определена в некоторой проколотой окрестности точки t0. Можно рассматривать односторонние производные.
Из теорем о пределах функций, с помощью доказанного критерия, получаются соответствующие теоремы для пределов вектор функций. Перечислим некоторые из них.
1) Предел, если он существует, единственен.
2) Предел суммы и произведения на обычную функцию
( p(t)+q(t) )= p(t)+ q(t).
(l(t)p(t))= l(t) p(t).
3) (p(t) , q(t))=(a , b).
a= p(t) , b = q(t) .
Доказательство. Пусть p(t)= ,q(t)= , a= , b =. Тогда ( p(t),q(t))= = ( a , b ).
4) [ p(t) , q(t)]=[ a , b] , если a= p(t) , b = q(t) .
Для краткости введем обозначения:
.
[p(t),q(t)]= [a , b].