Асимптоты функций
Выпуклость функции, точки перегиба
Хорда, соединяющая точки M1(x1, f(x1)), M2(x2, f(x2))графика функции f(x)задается функцией
y=L(x, x1, x2 ) = + (*)
Это проверяется подстановкой координат x1, x2в правую часть (*).
Определение. Функция f(x) называется выпуклой вверх на [a,b], если для "x1<x<x2 из [a,b]
(1)
Рис. 4.18
Аналогично определяется выпуклая вниз функция. Можно дать определение строгой выпуклости, заменив нестрогое неравенство на строгое в (1) .
Теорема ( Достаточное условие выпуклости )
Если f непрерывна на [a,b], дважды дифференцируема на (a,b) и f¢¢(x)>0 на (a,b), то f строго выпукла вниз.
Доказательство. Для любых , a£x1<x<x2£b имеем
=
Участвующие в этих соотношениях величины расположены на оси в показанном на рисунке порядке.
Рис. 4.19
Определение. Точка x0 называется точкой перегиба функции f, если в точке x0 существует касательная и в некоторой окрестности точки x0 график f лежит по разные стороны от касательной.
Рис. 4.20
Теорема 1. ( Необходимое условие точки перегиба )
Если f дважды непрерывно-дифференцируема в окрестности точки перегиба x0, то f¢¢(x0)=0.
Доказательство. Противное f¢¢(x0) ¹ 0. По теореме о сохранении знака f¢¢(x) сохраняет знак в окрестности точки x0 . По формуле Тейлора с остатком Лагранжа
Левая часть этого равенства имеет смысл уклонения точки графика функции от касательной. Это, в свою очередь, означает, что график функции лежит с одной стороны от касательной. не меняет знак.
Рис. 4.21
Теорема 2 ( Достаточное условие точки перегиба )
1) $f¢¢(x) в U(x0) и f¢¢(x0)=0
2) f¢¢ меняет знак при переходе через точку x0 .
Тогда x0 точка перегиба.
Доказательство. По формуле Тейлора с остатком Лагранжа
.
Следствие. Если f¢¢(x0)=0 и f¢¢¢(x0)¹ 0, то x0 – точка перегиба.
Доказательство. При данных условиях f¢¢ будет монотонной, и будет менять знак при переходе через x0.
Определение. Пусть f определна на полуоси x>c. Прямая y=ax+b называется наклонной асимптотой при x®+¥ , если .
Пусть f определна на полуоси x < c . Прямая y=ax+b называется наклонной асимптотой при x®-¥, если .
Пример.
В дальнейшем рассматривается лишь случай +¥.
Теорема. Пусть f(x) определена на [c,+ ¥). Для того, чтобы прямая y=ax+b была асимптотой функции f необходимо и достаточно, чтобы
1)
2)
Пример.
Рис. 4.22
Наклонные асимптоты: в +¥ линия y= - x+1, в -¥ линия y = x+1.
Вертикальная асимптота
Функция f определена на (a,a+d). Линия x=a называется вертикальной асимптотой, если , аналогично при x®a - 0.
Для нахождения наклонных асимптот параметрически заданных функций поступают похожим образом. Вначале разыскиваются значения параметра t0 , для которых и . Далее коэффициенты наклонной асимптоты находятся из соотношений
1)
2) (y(t) – a x(t)) = b ,
при условии, что указанные пределы существуют.
Для нахождения вертикальной асимптоты вида x=x0 параметрически заданных функций находят t0 такие, что , . Для горизонтальной асимптоты ,