Исследование функций на экстремум по знаку высших производных
Максимальные и минимальные значения функций ( экстремумы )
Определение. Пусть f(x) задана на [a,b] и x0Î(a,b), x0 называется точкой локального максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки x0 выполнено неравенство f(x)£ f(x0).
Строгий максимум, если в некоторой проколотой окрестности точки x0 выполнено неравенство f(x)< f(x0).
Аналогично определяются: минимум, строгий минимум.
Экстремум локальный: в точке локальный минимум или локальный максимум.
Экстремум строгий: в точке строгий локальный минимум или строгий локальный максимум. Это можно сформулировать, как сохранение знака приращения функции f(x) – f(x0)в некоторой проколотой окрестности точки x0 .
Теорема ( Необходимое условие экстремума ).
Если x0 – точка экстремума функции f и существует f¢(x0), то f¢(x0)=0.
Доказательство. Следует из теоремы Ферма.
Определение. Точка, в которой f¢(x0)=0 называется стационарной точкой.
Замечание. Таким образом, у дифференцируемой функции экстремум следует искать среди стационарных точек.
Пример. f(x)=x3.
Теорема. ( Первое достаточное условие экстремума )
Пусть f непрерывна в точке x0. Если в некоторой проколотой окрестности точки x0 функция f(x) дифференцируема и f¢(x) меняет знак при переходе через точку x0 , то x0 есть точка строгого экстремума, причем
производная меняет знак с минуса на плюс, то это минимум,
производная меняет знак с плюса на минус, то это максимум.
Доказательство. Применить теорему 3 на [x0-d, x0] и на
[x0, x0+d].
Другими словами, теорему можно сформулировать так: Если f непрерывна в x0, дифференцируема в некоторой проколотой окрестности точки x0 причем f¢(x)£0 на(x0-d, x0), f¢(x)³0 на (x0, x0+d),
тогда в точке x0 локальный минимум. Аналогично, для максимума достаточно выполнения условий:
f¢(x) ³ 0 на(x0-d, x0), f¢(x) £ 0 на (x0, x0+d).
Пример. |x|.
Теорема (Второе достаточное условие экстремума)
Пусть x0 – стационарная точка функции f и $ f¢¢(x0)¹0, тогда, если f¢¢(x0)>0, то в точке строгий минимум, если f¢¢(x0)<0, то в точке строгий максимум
Доказательство. Пусть f¢¢(x0)>0,
Из теоремы о сохранении знака в некоторой проколотой окрестности будет выполнено неравенство
, или . Тогда для x > x0 будет
f¢(x) > 0 , а для x < x0: f¢(x) < 0.
Аналогично для случая f¢¢(x0)<0.
Задача. Из квадратного листа сделать выкройку коробки, открытой сверху, наибольшего объема
Рис. 4.16
Объем коробки равен(a-2x)2x. Для поиска максимального объема вычислим производную
f¢(x)=(4x3- 4ax2 +a2x)¢= 12x2 - 8ax+ a2 . Нули производной
Таким образом, x = .
Рис. 4.17
Пусть x0 стационарная точка функции f, f(x) n-раз непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 причем
f¢(x0)= f¢¢(x0)=…= f(n-1)(x0)=0, f(n)(x0)¹0. В этом случае по формуле Тейлора с остатком Лагранжа будет выполнено равенство .
1) n=2k
Если f(2k)(x0)>0 ,то в x0наблюдается строгий локальный min.
Если f(2k)(x0)<0,то в x0наблюдается строгий локальныйmax.
2) n=2k+1
x0 не является точкой экстремума, так как приращение функции f(x) – f(x0)имеет разные знаки по разные стороны от точки x0.
Пример f(x) = ch x + cos x - , в точке 0.
f¢(x)=sh x – sin x - , f ¢(0)=0,
f¢¢(x)=ch x – cos x –x2, f¢¢(0)=0,
f¢¢¢(x)=sh x + sin x –2x, f¢¢¢(0)=0,
f(4)(x)=ch x + cos x –2, f(4) (0)=0,
f(5)(x)=sh x - sin x, f(5) (0)=0,
f(6)(x)=ch x - cos x, f(6) (0)=0,
f(7)(x)=sh x + sin x, f(7) (0)=0,
f(8)(x)=ch x + cos x, f(8) (0)=2 >0 . Поэтому в точке 0имеется строгий локальный min .