Примеры использования стандартных разложений для представления функций по формуле Тейлора и для вычисления пределов
Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора
Другие формы остатка в формуле Тейлора
Лемма. Если
Остаток в форме Пеано
Теорема 1. Если у функции f(x) существует f(n)(x0), то имеет место равенство
.
Другими словами
(6)
Доказательство. Для краткости будем обозначать R(x)=Rn(x), тогда можно выписать следующие равенства для последующего использования по правилу Лопиталя
(10)
(11)
…
(1m)
…
(1n-1)
Как уже отмечалось (формула (3))
По правилу Лопиталя
Теорема 2. (Единственность представления функции по формуле Тейлора) Если f имеет n–ю производную в точке x0 и
, то
, (2)
то bk=0, k=0,1,…,n.
Доказательство. В формуле (2)перейдем к пределу при x® x0 , получим b0 = 0,
, делим полученное выражение на (x-x0) и переходим к пределу при x® x0 и т.д.
Доказательство теоремы.
откуда и следует утверждение.
Пусть функция f(x) (n+1)–раз дифференцируема в окрестности Ua(x0)=(x0-a,x0+a) и y(x) дифференцируема в , y¢¹0 в , y(x) непрерывна в .
Возьмем xÎ(x0-a,x0+a), x¹x0 и фиксируем. Для определенности будем считать x0<x и рассмотрим на [x0,x]функцию
Отметим следующие свойства этой функции
1) j(x)=0.
2) j(x0)=Rn(x).
3) j(z) непрерывна на [x0,x], дифференцируема на (x0,x).
4)
Не очевидным является только четвертое свойство
=
= = = .
К функциям j и y применим теорему Коши о конечных приращениях на отрезке [x0,x]
. Откуда и, далее,
(1)
Следствие 1. Если функция f является (n+1)-раз дифференцируемой на (x0-a, x0+a), то
,
где xÎ(x0,x) (или (x,x0)),p>0. Полученный остаток называется остатком в форме Шлемильха-Роша.
Для доказательства этой формулы в качестве функцииy(z) нужно взять y(z)=(x - z)p.
Следствие 2. (Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа) Если f является (n+1)–раз дифференцируемой на (x0-a, x0+a), то
.
Этот остаток получен из общей формулы при p=n+1.
Замечание. Формулу Тейлора с остатком Лагранжа можно представить в виде
.
Следствие 3. Если f (n+1)–раз дифференцируема на (x0 - a, x0+a), то справедлива формула Тейлора с остатком в форме Коши
Этот остаток получен из общей формулы при p=1.
1) Экспонента ex, x0=0
,xÎ(0,x), если x>0 или xÎ(x,0)в случае
x <0. Например, при |x|<1, |Rn(x)|£
2) sin x, x0=0
Вспомогательная формула:
= , x®0,
выберем m=2n+2, тогда
sin x= , x®0,
откуда, с учетом равенства f(2n+2)(0)=0, получаем разложение для синуса
sin x= , x®0.
В формуле Тейлора с остатком Лагранжа
, xÎ(0,x) (или
xÎ(x,0)). Действительно,
= = Откуда следует, что
1) cos x, x0=0.
Вспомогательная формула:
.
.
= , x®0,
выберем m=2n+1 , тогда
, x®0,
откуда, с учетом равенства f(2n+1)(0)=0, получаем разложение для косинуса
cos x= , x®0.
В формуле Тейлора с остатком Лагранжа
cos x = , xÎ(0,x) (или xÎ(x,0) ). Действительно,
= = .
Откуда следует, что
2) ln(1+x), x0=0.
, x®0.
3) (1+x)a, x0=0, интерес представляет случай, когдаaне является натуральным числом.
f¢=a(1+x)a-1,…,f(k)=a(a - 1)…(a - k+1)(1+x)a - k.
, x®0
Важный частный случай
= .
6)sh x, x0=0.
7)ch x, x0=0.
Пример 1.
Пример 2.
.
Пример 3. Разложить функцию f(x)= по формуле Тейлора с остатком Пеано по степеням x до x5 включительно.
. Для решения задачи возьмем разложения функции
,
+ x4+ x5+o(x5)=
=1+2x+x2 x3 x4 x5+o(x5).
Пример 4. Разложить функцию f(x)=1/cos x по формуле Тейлора с остатком Пеано по степеням x до x5 включительно. Представим функцию в виде
=1+u+u2+u3+o(u3),
где u = . Тогда
=1+u+u2+u3+o(u3)=1+ + + + . При вычислении степеней нас интересуют только слагаемые степеней не выше x5, более высокие степени войдут в o(x5). Таким образом, = , = , = . Выражение = показывает, что в разложении =1+u+u2+u3+o(u3)можно, с самого начала, ограничится второй степенью
=1+u+u2+o(x5). Подставляя нужные выражения в это равенство, получим =1+ + + =1+
Пример 5. Используя разложение из предыдущего примера, разложить функцию f(x)=tg x по формуле Тейлора с остатком Пеано по степеням x до x6включительно.
tg x= = =
x+x2(0)+x3 +x4(0)+x5 +x6(0)+o(x6)=
= .
Пример 6. Разложить функцию f(x)=(1+x)a - (1 - x)aпо формуле Тейлора с остатком Пеано.
k = 2l+1,
Таким образом,
Следствие. .
Пример 7. Используя следствие из предыдущего примера, найти предел
.
Имеем: =|x| = sign x +o().
Пример 8. Разложить функцию f(x)= по формуле Тейлора с остатком Пеано по степеням x до x4включительно.
Сначала выпишем разложение функции по степеням x до x3включительно.
Положим u=x - x2 , тогда = =1+u+u2+u3+o(u3) = 1+ x - x2+(x – x2)2+(x – x2)3+o(x3)=1+x – x3 +o(x3). Далее,
= =1+2x(1+x–x3+o(x3))=1+2x+2x2-2x4+o(x4).
Второй способ. Так как , то на первом шаге выделяем единицу:
= . Второе слагаемое представляем в виде Cxng2(x)так, чтобы , после чего следует представить функцию g2(x) в виде g2(x)= 1+g3(x)и т.д. В нашем случае:
= = = =
= =1+2x+
+ =
=1+2x+2x2 =1+2x+2x2-2x4+o(x4).