Теорема Коши о конечных приращениях

Теорема Лагранжа о конечных приращениях

Теорема Ролля о нуле производной

Теорема. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и f(a)=f(b). Тогда $ x₀Î(a,b):f¢(x₀)=0.

Доказательство. Положим ,

. Хотя бы одна из точек x₁, x₂ будет внутренней ( ) и для этой точки утверждение следует из теоремы Ферма.

 

Рис. 4.14

Теорема. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b), то

$xÎ(a,b):f(b)-f(a)=f¢(x)(b-a).

Доказательство. Рассмотрим функцию

. Для этой функции F(a)=F(b)=0, и к ней применима теорема Ролля

.

Геометрическая интерпретация.

Существует точка, касательная в которой, параллельна хорде, соединяющей точки A и B графика функции.

 

Рис. 4.15

Следствие 1. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и f¢(x)º0 на (a,b), то f(x)ºconst.

Применяя теорему к произвольному отрезку [a,x], где x произвольная фиксированная точка, получим f(x) - f(a)=f¢(x)(x - a)=0, т.е. f(x) = f(a).

Следствие 2. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и f¢(x)=g¢(x) на (a,b), то f(x)=g(x)+ const.

Теорема. Если f, g непрерывны на [a,b], дифференцируемы на (a,b), то существует xÎ(a,b) такая, что

.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

F(x) = g(x)(f(b) - f(a)) - f(x)(g(b) - g(a)).

Для этой функции будет выполнено

F(a)= g(a)(f(b) - f(a)) - f(a)(g(b) - g(a))= g(a)f(b) - f(a)g(b) ,

F(b)= g(b)(f(b) - f(a)) - f(b)(g(b) - g(a))= - f(a)g(b) +g(a)f(b), таким образом, F(a)=F(b)

и к этой функции применима теорема Ролля:существует точка xÎ(a,b)для которой выполняется равенство

0=F(b)-F(a)=F¢(x)(b-a)=[g¢(x)(f(b)-f(a))-f¢(x)(g(b)-g(a))](b-a).

Следствие. Если g¢(x)¹0 на (a,b), то .

Доказательство. Если g¢(x)¹0 , то g(b)-g(a) ¹0. Иначе, в случае g(b)=g(a), по теореме Ролля нашлась бы точка x, где g¢(x)=0.

4.4 Правило Лопиталя

Раскрытие неопределенностей при вычислении пределов.

4.4.1.Раскрытие неопределенностей вида 0/0

Дано: f(x), g(x) определены на (x₀,b) и

1)

2) f, g дифференцируемы на (x₀,b).

3) g¢(x)¹0 на (x₀,b).

Тогда , если существует конечный или бесконечный предел .

Доказательство. Доопределим функции f и g в точке x₀ по непрерывности нулем: f(x₀)=g(x₀)=0. По теореме Коши, примененной к отрезку [x₀,x], будет существовать x(x): x₀<x(x)< x и , из условия x₀<x(x)<x следует, что , причем x(x)¹x₀, если x¹x₀. Тогда . Последнее равенство справедливо по теореме о существовании предела суперпозиции, ч.т.д.

Замечание. Аналогично, это утверждение доказывается для левой окрестности. Откуда получаем утверждение для x® x₀.

Следствие 1. Если

1) Существуют f^(k) ,g^(k), k=1,2,…,n на (x₀,b).

2) , k=0,1,…,n-1.

3) Существуeт g⁽ⁿ⁾(x)¹0 на (x₀,b), то

 

еслисуществует, конечный или бесконечный.

Следствие 2. Если f, g дифференцируемы для x>a, ,то

если последний существует, конечный или бесконечный.

Доказательство. Сделаем замену

 

Замечание. Аналогичные утверждения имеют место для x® -¥.

4.4.2.Раскрытие неопределенностей вида ¥/¥

f,g определены на (x₀,b) и

1) .

2) f, g дифференцируемы на (x₀,b).

3) g¢(x)¹0 на (x₀,b).

Тогда , если последний существует конечный или бесконечный.

Без доказательства.

Замечание. Аналогичные утверждения имеют место для x® x₀ - 0, x® x₀, x® +¥, x® -¥.

4.4.3.Использование правила Лопиталя для выделения главных частей и определения порядков бесконечно больших

В некоторых случаях порядок бесконечно малой или бесконечно большой можно определить, последовательно вычисляя производные. Предположим, что f(x) – бесконечно малая при x® x₀и в точке x₀обращаются в ноль все производные до (n-1)-го порядка включительно f(x₀)=0, f¢(x₀)=0,…, и . В этом случае порядок этой бесконечно малой будет равен n . При этом главная часть будет равна . Это утверждение следует из равенства , в котором в качестве функции g(x)берется (x-x₀)ⁿ.

.

Похожее утверждение можно сформулировать и для бесконечно больших функций.

Пример: Выделить главную часть функции

f(x)= 3sh x - 3sin x – x³при x® 0.

f¢(x)= =0, f¢¢(x)= =0,

f¢¢¢(x)= =0, f⁽⁴⁾(x)= =0,

f⁽⁵⁾(x)= =0, f⁽⁶⁾(x)= =0,

f⁽⁷⁾(x)= =6¹0.

Таким образом, порядок этой бесконечно малой равен 7 и f(x)~ x⁷= , x®0.

4.4.4.Раскрытие неопределенностей вида 0¥, 1^¥ , 0⁰, ¥⁰, ¥ - ¥

Неопределенности вида 0¥ сводятся к уже рассмотренным ранее.

Примеры.

1) .

2) .

3) .

4) ¥ - ¥

.

Можно, например, так

5) Неопределенности вида 1^¥, 0⁰, ¥⁰ сводятся к уже рассмотренным ранее логарифмированием

y=u^v=e^{v ln u}

Пример1. .Вычисление. . Этот предел рассматриваем, как , где , а . Из теоремы о существовании предела суперпозиции двух функций следует, что . Далее , заменяя знаменатель на эквивалентную бесконечно малую получим:

= =

= . Таким образом, .

Пример 2. . Представим функцию в следующем виде: и вычислим предел

 

 

4.5 Формула Тейлора

 

Формула Тейлора. Различные остатки в формуле Тейлора.

 

4.5.1.Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом R_n

Пусть у функции f существует f⁽ⁿ⁾(x₀) ( это предпологает существование всех производных до (n-1)-го порядка в некоторой окрестности U=(x₀-a,x₀+a) точки x_{0 )}. Многочленом Тейлора в точке x₀ называется многочлен вида

 

Производные многочлена Тейлора будут равны:

(1)

Из (1) следует

= (2)

В частности, из дифференцируемости функции в точке получаем:

= . (3)

Далее, из (1) получается замечательное свойство многочлена Тейлора: он имеет в точке такие же производные, что и сама функция до порядка включительно («нулевая производная» - это сама функция):

P_n(x₀)=f(x₀), (4)

В частности, , k=0,1,…,n-1.

Обозначим R_n(x)=f(x) - P_n(x), тогда

(5)

Выражение (5) называется формулой Тейлора функции f в окрестности точки x₀ с остаточным членом R_n. Основная задача будет состоять в представлении остатка в удобной для оценок форме.

Пример. Для функции найти многочлен , имеющий такие же прозводные в точке , что и , до 5-го порядка включительно.