Дифференциал функции
Глава 4 Дифференциальное исчисление
4.1 Производная
Производная. Дифференцируемость и дифференциал. Правила дифференцирования, производные элементарных функций.
4.1.1.Определение производной. Геометрическая интерпретация. Необходимое условие дифференцируемости
Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.
Терминология
Dx=x - x0 – приращение аргумента.
Dy=D f =f(x) - f(x0) – приращение функции.
Определение. Производная в точке x0определяется, как предел приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю
f¢(x0)= = .
Обозначения для производной
Лейбниц, f¢(x0) Лагранж, (x) Ньютон, Df(x0) Коши.
Аналогично определяются односторонние производные f¢(x0+0), f¢(x0-0).
f¢(x0+0)= , f¢(x0 - 0)= .
Теорема. Для существования производной f¢(x0) необходимо и достаточно существования обеих односторонних производных f¢(x0+0), f¢(x0 - 0) и их равенство.
Непосредственно следует из соответствующей теоремы об односторонних пределах.
Если f¢ существует всюду на множестве Х, то мы получаем новую функцию f¢ (x), которая называется производной функцией.
Определение. Функция f, определенная в окрестности точки x0 называется дифференцируемой в точке x0, если существует число А, такое, что приращение функции представимо в виде
Df = f(x) - f(x0) = A(x - x0)+o (x – x0), x®x0
Теорема. Для существования f¢ (x0) необходимо и достаточно, чтобы f была дифференцируема в точке x0.
Для доказательства можно воспользоваться критерием существования предела в терминах бесконечно малых.
$ A Û .
Замечание. Отметим, что A= f¢ (x0).
Операция вычисления производной называется операцией дифференцирования.
Геометрическая интерпретация. Предельное положение хорды, соединяющей точки графика, при x® x0называется касательной к графику функции f(x)в точке x0 .
a= arctg =arctg f¢(x0).
Рис. 4.1
Для точек (x,y), лежащих на касательной будет выполнено равенство ,
. Тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x)в точке x0равен , . Таким образом, уравнение касательной к графику функции в точке x0: .
Рис. 4.2
Последнее равенство можно сравнить с определением дифференцируемости в точке .
Нормаль в точках, где касательная не горизонтальна: . Уравнение нормали в общем случае: .
Теорема ( Необходимое условие дифференцируемости ) Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.
Следует непосредственно из определения дифференцируемости.
Пример функции всюду дифференцируемой, имеющей разрыв производной в нуле.
Главная линейная часть приращения функции ADx в определении дифференцируемости функции
Df=f(x) - f(x0)=A(x - x0)+o (x – x0), x®x0
называется дифференциалом функции f(x)в точке x0 и обозначается
df(x0)=f¢(x0)Dx= ADx.
Дифференциал зависит от точки x0и от приращения Dx. На Dx при этом смотрят, как на самостоятельное переменное, так чтов каждой точке дифференциал представляет собой линейную функцию от приращения Dx.
Если в качестве функции рассмотреть f(x)=x , то получим dx=Dx, dy=Adx. Это согласуется с обозначением Лейбница
Геометрическая интерпретация дифференциала как приращения ординаты касательной.
Рис. 4.3