Первый замечательный предел.
Отметим, что для выполнены неравенства смотри рисунок (доказательство неравенства в конце пункта).
Рис. 3.3
Откуда следуют неравенства
(1)
Далее = и из (1) получаем, что
Отметим, что попутно были доказаны следующие соотношения:
.
.
Доказательство неравенства
Рис. 3.3.1
Дуга (на рис. 3.3.1 - это ) есть предел длин вписанных ломаных с равноотстоящими узлами при стремлении к бесконечности числа звеньев. Легко показать, что последовательность длин этих ломаных является монотонно возрастающей последовательностью, ограниченной длиной сверху. Например, , см. рис. 3.3.2.
Рис. 3.3.2
Для доказательства этого в угле проведена биссектриса. Легко проверяются неравентва: Откода следует, что длина хорды
,
Другими словами, длина хорды ломаной меньше соответствующей составляющей тангенса.
3.4.2. Второй замечательный предел.
Лемма 1.Если xn=a, {nk} - последовательность натуральных чисел такая, что nk=+¥ , то =a.
Отметим, что не обязана быть подпоследовательностью.
Доказательство: По условию xn=a , т.е.
"e$Ne"n>Ne : |xn - a|<e. (2)
Далее, используя второе условие nk=+¥ можно для Ne найти K"k >K: nk>Ne . Тогда из (2) будет следовать, что
| - a|<e, ч.т.д.
Лемма 2. Если xk=0, xk>0, то =e.
Доказательство: Так как xk=0 , то можно считать, что для всех справедливо : . Для целой части числа , nk= будут выполнены неравенства:
,
Поэтому
(3)
Пределы последовательностей , согласно лемме 1, равны числу e. Для того, чтобы это проверить, эти последовательности можно представить в виде:
Переходя к пределу в (3) при k®¥ , по теореме о трех последовательностях, получим требуемое утверждение.
Следствие 1. .
Действительно, утверждение леммы 2 означает, что для любой последовательности {xk}типа Гейне при x®0+0будет выполнено =e и, следовательно, .
Аналогичное утверждение справедливо для любой последовательности {xk}типа Гейне при и, поэтому, .
Следствие 2. , . Первое утверждение следует из теоремы о связи предела с односторонними пределами. Последнее равенство получено с помощью замены x = 1/y.
Следствие 3. , если -бесконечно малая при
Пример 1 (Раскрытие неопределенностей типа: ). Вычислить предел , где и
В этом случае будет существовать бесконечно малая при такая, что . Тогда и если мы найдем предел , то Отметим, что здесь может быть: - число, . -может быть числом или символом .
Пример. Вычислить предел .
.
=
= ~ .
= ~ ~
Поэтому ~ и . Откуда получаем, что .
Выпишем часто используемые основные эквивалентности
sin x ~ x, x®0,
~ ,
~ x, x®0.
Второе и третье соотношения будут доказаны в последующем.
Стандартные эквивалентности
3.5 Непрерывные функции
Понятие непрерывности. Свойства непрерывных функций. Классификация разрывов. Теоремы Вейерштрасса. Нули непрерывных функций. Равномерная непрерывность.
3.5.1.Непрерывность в точке и на множестве
Определение. Функция f(x), заданная на множестве X , содержащем некоторую проколотую окрестность точки x0, XÉ, называется непрерывной в точке x0 , если она определена в точке и.
Определение непрерывности в точке по Коши
Функция определена в точке и "e>0$d>0"xÎ X,|x - x0|<d: |f(x) - f(x0)|<e.
Определение непрерывности в точке по Гейне
Функция определена в точке и "xn, {xn}®x0,{xn}ÌX :f(xn)=f(x0).
Непрерывность справа:
Функция определена в точке и "e>0$d>0"xÎ X, x0 £ x < x0+d: |f(x) - f(x0)|<e .
Непрерывность слева:
Функция определена в точке и "e>0$d>0"xÎ X, x0-d < x £ x0 : |f(x) - f(x0)|<e .
Непрерывность на множестве:
Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
3.5.2.Простейшие свойства непрерывных функций
1) Сумма, разность и произведение двух непрерывных функций в точке является непрерывной функцией в этой точке.
Следствие: Сумма, разность и произведение двух непрерывных функций на множестве является непрерывной функцией на этом множестве.
2) Сохранение знака непрерывной функции:
f(x0)>0Þ$U(x0) : .
3) Если f(x) непрерывна в точке x0, g(x) непрерывна в x0, g(x0)¹0, то функция непрерывна в x0.
4) Функция |f(x)| непрерывна, если непрерывна f(x).
5) Суперпозиция непрерывных функций есть непрерывная функция.
Если f(x) определена в окрестности x0 и непрерывна в x0,
g(x) определена в окрестности t0 и непрерывна в t0, g(t0)=x0. Тогда в некоторой окрестности тоски t0 определена суперпозиция F(t)=f(g(t)) и F(t) непрерывна в t0.
Все перечисленные свойства являются непосредственным следствием соответствующих свойств пределов функций.
Классификация точек разрыва
Если f(x) не является непрерывной в точке x0 , то x0 – точка разрыва. В этом случае говорят, что функция разрывная (разрывна) в точке x0 , или , функция претерпевает разрыв в точке x0.