Монотонные последовательности

Простейшие свойства сходящихся последовательностей

Отбрасывание или добавление конечного числа членов последовательности не нарушает сходимости последовательности и величины ее предела.

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Доказательство: Предположим противное, существует два предела: , . Возьмем какое нибудь , удовлетворяющее условиям: . Например, можно взять . По определению предела будет существовать такое, что при . Точно также существует такое, что при . Тогда при будут выполнены неравенства . Полученное противоречие доказывает требуемое утверждение.

Рис. 2.1

Т еорема 2. Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство: . Возьмем e=1 по определению предела для него существует N"n>N:a -1<x_n<a+1. В таком случае для числа b=max{|x₁|,…,|x_N|,|a-1|,|a+1|} для любого n будет выполнено |x_n|<b.

Теорема 3 (О трех последовательностях). Если для трех последовательностей выполнены неравенства , и , то

Теорема 4 (Переход к пределу в неравенству). Если для всех n выполнены неравенства и , то .

Следствие 1.

Следствие 2.

Замечание.

Теорема 5. Всякая ограниченная сверху, монотонно возрастающая последовательность {x_n} имеет конечный предел

Доказательство. Пределом будет число b= . Докажем это. Берем произвольное e>0. Из определения точной верхней грани следует, что найдется N такое, что b-e < x_N £ b <b+e .

Все последующие члены последовательности будут располагаться в этой e-окрестности числа b в силу монотонности последовательности, ч.т.д.

Рис. 2.2

Замечание 1. Аналогично доказывается, что всякая ограниченная снизу монотонно убывающая последовательность сходится.

Замечание 2. Если {[a_n,b_n]} система вложенных стягивающихся к нулю отрезков и сÎ[a_n,b_n], то .

Доказательство:

. Аналогично,

Пример. Число e . Число Эйлера или неперово число.

Индукцией по n доказывается формула (Бином Ньютона):

Используя формулу бинома Ньютона для последовательности x_n= получим:

+… +…+ =

Для n+1будет выполнено, соответственно,

При переходе от n к n+1 каждое слагаемое в этой сумме увеличивается и общее число слагаемых увеличивается на один, поэтому x_n<x_n₊₁. Далее, каждая скобка <1 и , поэтому

. Монотонно возрастающая ограниченная последовательность сходится к некоторому числу, которое обозначается e.

Это трансцендентное число называется числом Эйлера e=2.718281828459045…

2.3. Некоторые свойства последовательностей, связанные со свойством непрерывности вещественных чисел

Дальнейшие свойства сходящихся и ограниченных последовательностей. Подпоследовательность.