Несобственные пределы

Предел последовательности

Ограниченная последовательность. Точная верхняя (нижняя) грань. Монотонные последовательности

Глава 2. Последовательности

2.1. Основные понятия, относящиеся к последовательностям

Числовая последовательность и различные понятия, связанные с последовательностями. В частности, грани, предел, монотонность.

Определение. Последовательность {an } определяется как отображение множества натуральных чисел в множество действительных чисел, {an }: n® an .

Ограниченность сверху. $ b "nÎN: an £ b. Такое b называется верхней гранью последовательности {an}. Таким образом, последовательность называется ограниченной сверху, если у нее существует хотя бы одна верхняя грань.

Ограниченность снизу. $a "nÎN: an ³ a. Существует нижняя грань.

Ограниченность. $c "nÎN: |an| £ c. Существуют верхняя и нижняя грани.

Примеры: {(-1)n}, sin n,

Определение точной верхней грани. b = sup {xn}:

1) "nÎN: xn £ b (b есть верхняя грань).

2) "e>0 $ nÎN: xn > b - e(никакое меньшее число не является верхней гранью).

Аналогично определяется точная нижняя грань, обозначаемая inf.

Пример. Написать на кванторах утверждение b ¹ sup{xn}.

b ¹ sup{xn}означает отрицание b = sup {xn}. Таким образом, выполнено: или отрицание 1), или отрицание 2).

Другими словами:

или выполнено 1) $nÎN: xn > b,

или выполнено 2) $e > 0 " nÎN: xn £ b - e.

Монотонно возрастающая последовательность {an}: "nÎN: an £ an+1.

Строго монотонно возрастающая последовательность {an}: "nÎN: an < an+1.

Аналогично даются определения монотонных убывающих последовательностей.

запись на кванторах

{xn} сходится (у последовательности есть конечный предел).

Если последовательность не является сходящейся, то говорят, что она расходится. Построить отрицание предыдущего высказывания.

Замечание.

Бесконечно малая последовательность {xn} : .

Замечание. {xn}® a Û xn=a+an, где an - бесконечно малая последовательность.

 

 

 

Последовательность, удовлетворяющая одному из этих условий называется бесконечно большой (б.б.).

Отметим, что и .

Поэтому бесконечно большой будет последовательность, которая удовлетворяет условию .

В определении и в определении можно писать:

и .

Замечание.Бесконечно большая последовательность расходится.

Геометрическое определение предела

Интервал (a-e, a+e) называется e - окрестностью точкиa .

Окрестностью -¥ называется множество вида (-¥,b) .

Окрестностью +¥ называется множество вида (b,+¥) .

Окрестностью ¥ называется множество вида {x: |x|>b} =

=(-¥,-b)È (b,+¥). Отметим, что при отрицательных b это множество всех вещественных чисел.

Геометрическое определение предела (общее для чисел и символов). Число или символ a называется пределом последовательности {xn}, если вне любой окрестности a имеется лишь конечное число членов этой последовательности.

2.2. Теоремы о пределах последовательностей

Основные свойства сходящихся последовательностей. Свойства монотонных последовательностей.