Несобственные пределы
Предел последовательности
Ограниченная последовательность. Точная верхняя (нижняя) грань. Монотонные последовательности
Глава 2. Последовательности
2.1. Основные понятия, относящиеся к последовательностям
Числовая последовательность и различные понятия, связанные с последовательностями. В частности, грани, предел, монотонность.
Определение. Последовательность {an } определяется как отображение множества натуральных чисел в множество действительных чисел, {an }: n® an .
Ограниченность сверху. $ b "nÎN: an £ b. Такое b называется верхней гранью последовательности {an}. Таким образом, последовательность называется ограниченной сверху, если у нее существует хотя бы одна верхняя грань.
Ограниченность снизу. $a "nÎN: an ³ a. Существует нижняя грань.
Ограниченность. $c "nÎN: |an| £ c. Существуют верхняя и нижняя грани.
Примеры: {(-1)n}, sin n,
Определение точной верхней грани. b = sup {xn}:
1) "nÎN: xn £ b (b есть верхняя грань).
2) "e>0 $ nÎN: xn > b - e(никакое меньшее число не является верхней гранью).
Аналогично определяется точная нижняя грань, обозначаемая inf.
Пример. Написать на кванторах утверждение b ¹ sup{xn}.
b ¹ sup{xn}означает отрицание b = sup {xn}. Таким образом, выполнено: или отрицание 1), или отрицание 2).
Другими словами:
или выполнено 1) $nÎN: xn > b,
или выполнено 2) $e > 0 " nÎN: xn £ b - e.
Монотонно возрастающая последовательность {an}: "nÎN: an £ an+1.
Строго монотонно возрастающая последовательность {an}: "nÎN: an < an+1.
Аналогично даются определения монотонных убывающих последовательностей.
запись на кванторах
{xn} сходится (у последовательности есть конечный предел).
Если последовательность не является сходящейся, то говорят, что она расходится. Построить отрицание предыдущего высказывания.
Замечание.
Бесконечно малая последовательность {xn} : .
Замечание. {xn}® a Û xn=a+an, где an - бесконечно малая последовательность.
Последовательность, удовлетворяющая одному из этих условий называется бесконечно большой (б.б.).
Отметим, что и .
Поэтому бесконечно большой будет последовательность, которая удовлетворяет условию .
В определении и в определении можно писать:
и .
Замечание.Бесконечно большая последовательность расходится.
Геометрическое определение предела
Интервал (a-e, a+e) называется e - окрестностью точкиa .
Окрестностью -¥ называется множество вида (-¥,b) .
Окрестностью +¥ называется множество вида (b,+¥) .
Окрестностью ¥ называется множество вида {x: |x|>b} =
=(-¥,-b)È (b,+¥). Отметим, что при отрицательных b это множество всех вещественных чисел.
Геометрическое определение предела (общее для чисел и символов). Число или символ a называется пределом последовательности {xn}, если вне любой окрестности a имеется лишь конечное число членов этой последовательности.
2.2. Теоремы о пределах последовательностей
Основные свойства сходящихся последовательностей. Свойства монотонных последовательностей.