Существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества

Ограниченное множество. Точные грани

Формула Муавра

Была найдена А.Муавром в 1707; современная её запись предложена Л. Эйлером в 1748.

zⁿ=rⁿe^inj=rⁿ( cos nj + i sin nj). (3)

Формула (3) доказывается индукцией по n.

Умножение комплексных чисел

При она, очевидно, верна. Предположим, что она верна для некоторого n, докажем ее для n+1. Имеем:

, ч.т.д.

Для заданного найдем , удовлетворяющее уравнению .Другими словами, найдем корень n-ой степени из комплексного числа. Имеем rⁿe^inj=re^iyÞ nj=y+2pk, kÎZ, r= откуда получаем формулы

,

которые используются для вычисления корня n-ой степени из комплексного числа . Процесс нахождения корня n – ой степени из комплексного числа z можно описать следующим образом. Если это число не равно 0, то таких корней будет ровно n. Все они будут являться вершинами правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса . Одна из вершин этого многоугольника имеет аргумент, равный .

Пример. Вычислить . В этом случае , поэтому принимает три значения:

.

 

Рис. 1.7

Замечание: Знаки сравнения меньше, больше (<, >) не определены в C.

1.3. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел

Ограниченность и грани множества.

Ограниченное сверху множествоE: $b "xÎE : x £ b.

b - верхняя грань множества:"xÎE:x £ b.

Ограниченное снизумножество:$a "xÎE : x ³ a.

a - нижняя граньмножества:"xÎE : x ³ a.

Точная верхняя грань множества:b = sup E – это число, удовлетворяющее двум свойствам:

1) (b - верхняя грань) "xÎE : x£b.

2) ( нет меньшей) "e>0 $ xÎE: x > b-e.

Аналогичноопределяется точная нижняя грань a = inf E. Ограниченное множествоE: $b "xÎE: .

Замечание: Если b = sup E, то -b = inf E¢, где E¢- зеркальное к E множество, E¢={xÎR:(-x)ÎE}.

Теорема 1. У непустого, ограниченного сверху множества существует точная верхняя грань.

Доказательство: Пусть b верхняя грань множества E и aÎE. Обозначим через [a₁,b₁] отрезок , если в нем есть точки из E. В противном случае через [a₁,b₁] обозначим отрезок

 

Рис. 1.8

Отметим свойства этого построенного отрезка:

1) "xÎE: x £ b₁.

2) EÇ[a₁,b₁] ¹ Æ .

Эту процедуру повторим для [a₁,b₁], и т. д. В результате получим последовательность вложенных отрезков [a_k,b_k], удовлетворяющих свойствам:

1)"xÎE: x £ b_k .

2) EÇ[a_k,b_k] ¹ Æ .

Доказательство этого проводится по индукции. Предположим, что построен отрезок [a_k,b_k]с указанными свойствами. Разделим его пополам точкой . Через [a_k+1,b_k+1] обозначим тот из отрезков , который имеет непустое пересечение с E. Если оба содержат

 

Рис. 1.9

точки из E, то [a_k+1,b_k+1] пусть будет правый отрезок . Полученный отрезок обладает свойствами 1), 2). Длины этих отрезков b_k - a_k=(b - a)/2^k стремятся к 0, поэтому существует единственное число cобщее для всех этих отрезков. Это число является точной верхней гранью данного множества. Действительно:

1) "xÎE: x £ c.

Предположим противное: $xÎE:x>c, возьмем , для него существует тогда , откуда следует b_n < x, что противоречит условию xÎ[a_n,b_n].

Рис. 1.10

2)"e> 0$xÎE: x > c - e.

Для любого e существует n: b_n - a_n < e . Выберем какое либо xÎ[a_n,b_n] . В силу свойства 1) будет выполнено x < c, кроме того

c-x£ b_n - a_n < e . Таким образом, найдено требуемое x.

 

Рис. 1.11

Аналогично можно доказать, что у непустого ограниченного снизу множества существует точная нижняя грань.

Теорема 2. Точная верхняя грань (если она существует), единственна.

Доказательство: Пусть имеются две точных грани b₂ , b₁, b₁<b₂. Возьмет e = b₂ - b₁ > 0. Поопределению точной верхней грани (для b₂)$ xÎE: x > b₂- e = b₁, что противоречит тому, что b₁ верхняя грань.

Рис. 1.12

Замечание. Аналогично доказывается, что точная нижняя грань единственна.

Если E не ограничено сверху, то пишут sup E = +¥, аналогично, если E не ограничено снизу, то пишут inf E = -¥.