Модуль и аргумент комплексного числа. Комплексное сопряжение. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
Алгебраическая форма записи
Свойства комплексных чисел
Определение комплексного числа
Множество комплексных чисел определяется, как множество упорядоченных пар действительных чисел, в котором опрелелены операции сложения и умножения по правилам, описанным ниже. Комплексное число обозначают z = (x, y). Первое число из такой пары называется вещественной частью комплексного числа и обозначаются x = Re z, второе число называется мнимой частью комплексного числа и обозначаются y = Im z.
Два комплексных числа z1 , z2 равны z1 = z2 , если равны их вещественные и мнимые части
z1 = z2 Û {Re z1= Re z2, Im z1 = Im z2 }.
Операции сложения и умножения определяются по следующим правилам:
Сложение z1 = (x1,y1), z2 = (x2,y2), z1+ z2 = (x1+ x2 , y1+ y2).
Сложение комплексных чисел
Умножение .
Множество комплексных чисел обозначается C (комплексная плоскость).
Геометрическая интерпретация. Комплексное число z=(x,y)можно интерпретировать, как радиус вектор в точку плоскости с координатами (x,y). Таким образом, по горизонтальной оси откладывается вещественная часть комплексного числа, а по вертикали откладывается мнимая часть.
Рис. 1.4
Ниже перечисленные свойства проверяются непосредственно, исходя из определения операций сложения и умножения комплексных чисел.
1) z1 +z2 = z1 + z2 .
2) z1 +( z2 + z3) = (z1 + z2) + z3.
3)обозначим = (0, 0),тогда для любого z будет выполнено z + = z.
4) "zÎCможно определить противоположное комплексное число -z=(-x,-y), которое обладаетследующим свойством: .
5) z1z2= z2z1.
6) z1 ( z2z3) = (z1 z2) z3.
7)определим комплексную единицу: =(1,0) , тогда "z: z = z.
8)для "z¹ существует обратное комплексное число z-1:
Существование обратного числа. Пусть z=(x,y). Будем искать число
z-1=(u,v), удовлетворяющее нужным свойствам: . Решая эту систему, получим
.
Частное двух комплексных чисел определяется по формуле .
9) Свойвство дистибутивности: z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
Рассмотрим отображение c(x)из Rв C: ,где xÎR, C . Множество комплексных чисел (x,0), обозначим С . Отображение c(x) взаимно-однозначно, причем
1) c(x+y) = c(x)+c(y).
2) c(xy) = c(x)c(y).
3) c(0) =
4) c(1) =
Следствие: c(-x)=-c(x), c(x-1)=c(x)-1 или c(1/x)=1/c(x).
Эти свойства позволяют отождествлять числа с вещественными числами x. В дальнейшем волну будем опускать. Множество чисел (x,0)называется вещественной осью.
Мнимая единица.Введем обозначение i=(0,1). Это комплексное число называется мнимой единицей. Отметим, что
Рассмотрим запись x+iy=(x,0)+(0,1)(y,0)=(x,y)=z , таким образом можно записать z=(x,y)=x+iy. Представление комплексного числа z=(x,y)=x+iy называется алгебраической формой записи комплексного числа. Множество чисел (0, y)=iy называется мнимой осью.
Для z=(x,y), определяется комплексно сопряженное число . На комплексной плоскости сопряженное число расположено по отношению к данному числу симметрично относительно вещественной оси.
Модуль комплексного числа определяется по формуле: . Отметим, что .
Рис. 1.5
Пример. Для представления комплексного числа в алгебраической форме домножим числитель и знаменатель на сопряженное число знаменателя: . В результате получим:
Определение аргумента комплексного числа.
Главным значением аргумента комплексного числа называется угол между положительным направлением вещественной оси и радиус вектором комплексного числа, лежащий в диапазоне [0,2p). Главное значение аргумента обозначается arg z . Аргумент комплексного числа Arg . Например, для первой четверти комплексной плоскости arg z = arctg y/x .
Тригонометрическая форма представления комплексного числа:
z = x + iy = r(cosj + i sin j), (1)
где j=Arg z, .
Рис. 1.6
Формулы Эйлера.
Введем обозначения
eij = cos j + i sin j, откуда следует, что
cos j = , sin j = .
Замечание. Определение комплексного числа ez в общем случае z=x+iy производится по формуле .
Свойства символа eij. Непосредственно из определения следует
ei(j+y) = eij eiy, Þ (eij)n=einj .
Проверка: =
+ .
С другой стороны тоже самое получится, если перемножить :
= +
+ .
Используя обозначение eij комплексное число можно представить в виде
z = reij (2)
Выражения (1) и (2) - тригонометрические формы записи комплексного числа.