Отображение, взаимно-однозначное соответствие, счетное и несчетное множества

Множество, операции над множествами, обозначения

Глава 1. Ведение

Часть 1. Дифференциальное исчисление

Операции над графиками

1.1. Некоторые понятия теории множеств и математической логики

В разделе рассматриваются основные понятия теории множеств, определение множества действительных чисел. Приводится необходимая терминология математической логики.

Множество - совокупность некоторых различимых объектов. Задать множество - задать признаки, характеризующие эти объекты.

Примеры:

N - натуральные числа, Z- целые числа, Q - рациональные числа, R - вещественные числа, [a,b]– отрезок, (a, b) – интервал, (a,b],[a,b) – полуинтервалы.

Элемент принадлежит множеству x E, элемент непринадлежитмножеству x E.

Подмножество A Ì E.

Æ- пустое множество EÍE.

Обозначение множества перечислением - {a, b, c}.

Обозначение множества указанием характеризующего свойства – { x : x удовлетворет свойству P}.

Пример: N={xÎZ: x > 0}; [a,b]={x: a£x£b}

Дополнение множества A (или разность двух множеств)

E\A={xÎE: xÏA}

 

 

Рис. 1.1

Пересечение двух множеств AÇB={x: xÎA и xÎB}

 

 

Рис. 1.2

Если два множества не пересекаются, то это можно записать в виде AÇB=Æ.

Объединение двух множеств AÈB ={x: xÎA или xÎB}

Рис. 1.3

Основные операции над множествами

Произведение множествA´B ={(x,y): xÎA и yÎB}.

Произведение множеств

Пример R² = R ´ R - плоскость.

Даны множества A и B. Отображение из A в B (или функция определенная на A со значениями в B) - соответствие или закон (обозначим его f ), которое каждому a A сопоставляет единственное b Î B. Обозначения: A B, f: A ® B, b=f(a).

a - прообраз, b-образ при отображении f.

Отображение из A в Bназывается взаимно-однозначным,если

1) разные элементы из A имеют разные образы,

2) каждый элемент из B является образом некоторого элемента из A.

Эквивалентные множестваA ~ Bили множества одинаковой мощности, если существует взаимно-однозначное соответствие между элементами этих множеств.

Счетное множество A ~ N.

Пример: Множество рациональных чисел счетно.

Одно из важных свойств счетных множеств:

Объединение конечного или счетного числа счетных множеств является счетным множеством.

Несчетные множества. Бесконечное множество, не являющееся счетным, называется несчетным. Множество [0,1] имеет большую мощность, чем N. Множество эквивалентные по мощности отрезку [0,1] называются множествами мощности континуума. Множество действительных чисел R -несчетное множество, это множество является множеством мощности континуума.