Расчеты на прочность при растяжении и сжатии стержневой системы или ступенчатого бруса

Раздел 1 Расчет статической прочности по допускаемым напряжениям

Глава 10 Расчет на прочность

Как и всякое сложное инженерное сооружение, конструкция летательных аппаратов для расчета на прочность мысленно расчленяется на отдельные узлы и отсеки, к которым прикладываются действующие на них в данный момент расчетные нагрузки и реактивные усилия, приходящие со стороны смежных мысленно отброшенных отсеков. В пределах каждого такого отсека или узла все действующие аэродинамические и инерционные нагрузки принимаются как статические. Таким образом, проверяются расчетным путем все элементы конструкции аппарата, переходя от одного момента нагружения к другому, т.е. по всем расчетным случаям. Самым ответственным моментом расчета является выбор и обоснование величины коэффициентов безопасности. Под коэффициентом безопасности f принято понимать число, больше единицы, на которое следует умножить величину эксплуатационной нагрузки (или перегрузки). Для самолетов значения коэффициентов безопасности устанавливаются «Авиационными правилами». После установления коэффициента безопасности все расчеты на прочность проводят на так называемые расчетные нагрузки (перегрузки), равные:

P^р=f×P^э,

n^р=f×n^э, где

P^р, n^р- расчетные значения нагрузок (перегрузок),

P^э, n^э- эксплуатационные значения нагрузок (перегрузок),

f- коэффициент безопасности.

В результате расчета нужно получить ответ на вопрос, удовлетворяет или нет конструкция тем требованиям прочности, которые к ней предъявляются.

Наиболее распространенным методом расчета на прочность является расчет по допускаемым напряжениям. В основу этого метода положено предположение, что критерием прочности является напряженное состояние в точке. Последовательность расчета следующая. На основе анализа напряженного состояния конструкции выделяется точка, в которой возникает наибольшее напряжение. Найденная величина напряжения сравнивается с допускаемой величиной для материала конструкции. Из сопоставления расчетных напряжений и допускаемых напряжений делается заключение о прочности.

В ряде случаев достижение в точке максимальных напряжений предельных значений не является опасным для всей конструкции в целом. Такая ситуация возникает при неравномерном распределении напряжений по сечению, например при изгибе или кручении, а также для составных статически неопределимых конструкций. Если конструкция изготовлена из пластического материала, то достижение, в какой либо точке, предела текучести не приводит к потере её несущей способности. В связи с этим возникает необходимость к оценке прочности конструкции по её предельному состоянию. Под предельным состоянием конструкции понимают такое её состояние, при котором она теряет способность сопротивляться внешним воздействиям, или перестает удовлетворять предъявляемым к ней эксплуатационным требованиям. Различают три вида предельных состояний.

1. Предельное состояние по несущей способности. При достижении этого состояния, например, в результате исчерпания статической прочности, потере устойчивости или достижении длины усталостной трещины предельной величины, конструкция теряет возможность сопротивляться внешним воздействиям.

2. Предельное состояние по развитию чрезмерных деформаций. В этом случае от действия статических или динамических нагрузок или от действия температуры при сохранении статической прочности и устойчивости появляются такие остаточные изменения или колебания, при которых конструкция перестает удовлетворять предъявляемым к ней требованиям.

3. Предельное состояние по образованию и развитию трещин. Такое состояние возникает, когда в конструкции, сохраняющей статическую прочность, появляются трещины таких размеров, что дальнейшая эксплуатация становится невозможной, например, вследствие потери герметичности.

На практике наиболее часто встречаются два случая расчета статической прочности по допускаемым напряжениям.

Проектировочный расчет. В этом случае по известным нагрузкам и для выбранного материала требуется определить необходимые размеры поперечного сечения элемента конструкции, обеспечивающие его надежную работу. В основе этого расчета для одноосного напряженного состояния лежит условие прочности:

или ,

выражающее тот факт, что наибольшее напряжение (нормальное s_max или касательное τ_max) действующее в сечении элемента конструкции не должно превышать соответствующего допускаемого напряжения [s_max] ([τ_max]). Допускаемое напряжение определяют как частное от деления предельных напряжений s_пред (τ_пред) на запас прочности n_s (n_τ):

, или

В качестве предельных напряжений принимают предел прочности s_в (τ_в). для хрупких материалов и предел текучести s_т (τ_т) для пластических материалов.

При установлении запаса прочности n_s (n_τ) учитывают разброс механических свойств материала, отступления в геометрии элементов конструкции, хотя бы в пределах допусков.

2. Проверочный расчет. Проводят в случае, когда заданы размеры элемента конструкции и его материал. Требуется выяснить, может ли заданный элемент выдержать, не разрушаясь, заданную нагрузку. В этом случае определяют избытки прочности h_s (h_τ) как отношение допускаемых напряжений к максимальным действующим напряжениям:

или .

Аналогично проводят расчет на жесткость, только вместо условия прочности записывают условие жесткости, ограничивающее величину деформаций (или перемещений). Однако даже в том случае, когда выполнен расчет на жесткость, всегда необходимо проводить проверочный расчет на прочность и, если он дает отрицательный результат, то следует принять размеры, полученные из расчета на прочность.

Считается, что стержневая система или ступенчатый брус разрушаться, если максимальное нормальное напряжение, возникающее в них, достигнет предельного напряжения материала, из которого они выполнены.

Условие разрушения имеет вид:

 

Наибольшее действующее напряжение определяют для наиболее напряженного стержня системы или сечения бруса по формуле:

s = N/F, где:

N- нормальное усилие,

F- площадь поперечного сечения.

В качестве предельных напряжений s_пред примем те напряжения, при достижении которых в материале появляются признаки нарушения прочности: при достижении предела текучести s_т‑ заметные остаточные деформации, при достижении предела прочности s_в - появление излома. Таким образом, для пластичных материалов предельным напряжением будет предел текучести: s_тр ‑ предел текучести при растяжении, или s_тс ‑ предел текучести при сжатии. Для хрупких материалов предельным напряжением будет предел прочности: s_вр ‑ предел прочности при растяжении, или s_вс ‑ предел прочности при сжатии.

Следовательно, можно записать:

 

Стержневая система или ступенчатый брус считаются прочными, если максимальные расчетные напряжения, возникающие в них, будут меньше допускаемых напряжений. Это означает, что для стержневой системы или ступенчатого бруса, обладающих достаточной прочностью, должно выполняться условие прочности:

, где:

s_max - наибольшее действующее напряжение,

[s]-допускаемое напряжение.

Допускаемое напряжение [s] определим как то максимальное напряжение, которое можно допустить при работе и при котором будет обеспечен требуемый запас прочности:

[s]=s_пред/n_s, где:

s_пред- предельное напряжение,

n_s - запас прочности.

Если возникает необходимость соблюдения требования необходимой жесткости, т.е. способности воспринимать заданные внешние нагрузки, не деформируясь выше установленных норм, то необходимо удовлетворить условию жесткости, которое требует, чтобы максимальное перемещение узла d_max стержневой системы или сечения ступенчатого бруса не превышало допускаемого перемещения [d]:

 

Если получены два значения искомого размера (один из условия прочности, другой из условия жесткости), тогда в качестве окончательного принимают тот, который удовлетворяет обоим условиям, т.е. наибольший.

Пример 10.1

Подобрать сечение стержней фермы крепления двигателя (рис. 10.1) для случая нагружения двигателя силой тяги P^э_x и массовыми силами соответствующими случаю D. Вес двигателя G_дв = 10 кН; тяга P^э_x =30 кН; перегрузка n_D=-2,5; коэффициент безопасности f=1,5. Стержни фермы выполнены из тонкостенных стальных труб с отношением внутреннего диаметра к наружному d/D=0,9. Материал труб 30ХГСА. Предел текучести на растяжение s_0,2=1162 МПа, предел текучести на сжатие s_{0,2 сж}=1081 МПа.

 

Рисунок 10.1

Решение.

1. Определим расчетные нагрузки путем учета коэффициента безопасности и перегрузки в заданном случае нагружения.

P_x= f P^э_x=1,5´30= 45 кН.

P_н= f n_D G_дв = 1,5´(-2,5) ´10= -37,5 кН.

2. Двигатель крепится с помощью шести стержней. Так как для пространственной системы сил можно составить шесть уравнений равновесия, то система является статически определимой. Для определения усилий в стержнях удалим опоры, и их действие заменим неизвестными усилиями в стержнях (рис. 10.2).

 

Рисунок 10.2

В силу симметрии можно записать:

N_1-2= N_1`-2` N_1-3= N_1`-3`

Для определения усилий в стержнях составим уравнения равновесия:

 

 

 

 

Решая систему уравнений, получим усилия в стержнях:

 

 

 

Из рассмотрения схемы нагружения определим:

,

,

.

Вычислим численные значения усилий в стержнях:

 

 

 

3. Определим напряжения в стержнях:

 

 

 

4. Диметры стержней определим из условий:

 

 

, откуда:

, d_1-2=0,9´ 15=13,5 мм

, d_1-3=0,9´ 12,8=11,5 мм

, d_4-5=0,9´ 9=8 мм

Пример 10.2

Для ступенчатого стального бруса (рис. 10.3а) определить реакции в заделках, построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений s, относительных деформаций e, продольных перемещений Dl. Определить опасное сечение и подобрать необходимую площадь F из условия прочности на растяжение или сжатие.

Задано: a =0,5 м, q=200 кН/м, E = 2,1´10⁵ МПа. Допускаемое напряжение на растяжение [s]_р = 160 МПа, на сжатие [s]_c = 60 МПа.

 

Рисунок 10.3

Решение.

1.Отбросим левую и правую заделку и заменим их действие неизвестными силами Х₁ и Х₄. Нумеруем характерные сечения (рис. 10.3б).

2. Запишем уравнение равновесия:

SX=-X₁+q2a-2qa+X₄=0, или:

X₄–X₁=0 (1)

Задача один раз статически неопределима, так число уравнений равновесия на единицу меньше числа неизвестных.

3.Запишем выражение нормальных сил N на каждом участке, последовательно отсекая сечения от начала участка, начиная от левой заделки.

N_1-2(x)=X₁-qx,

N_2-3(x)=X₁–q2a,

N_3-4(x)=X₁–q2a+2qa=X₁

4. Учитывая, что смещение заделок относительно друг друга равно нулю, запишем уравнение совместимости деформаций:

Dl_1-4=0, или:

Dl_1-2+Dl_2-3+Dl_3-4=0

По закону Гука удлинение каждого участка стержня имеет вид:

Dl_1-2= =(a/EF)(X₁–qa)

Dl_2-3=((X₁–2qa)a)/(EF)

Dl_3-4=(X₁a)/(3EF)

Следовательно, уравнение совместимости примет вид:

(a/EF)(X₁–qa)+((X₁–2qa)a)/(EF)+(X₁a)/(3EF)=0, или

7/3X₁–3qa=0 (2)

Решая уравнения 1 и 2 совместно, получим:

X₁=9/7qa

X₄=9/7qa

5.Запишем выражения нормальных сил, подставив значение Х₁:

N_1-2(x)=9/7qa-qx, N₁(0)=9/7qa, N₂(2a)=-5/7qa

N_2-3(x)=9/7qa–q2a=-5/7qa,

N_3-4(x)=9/7qa

Строим эпюру N (рис. 10.3в).

6. Запишем выражения нормальных напряжений:

s_1-2(x)=(9/7qa–qx)/2F, s₁(0)=(9/7qa)/2F, s₂(2a)=(-5/7qa)/2F

s_2-3(x)=(-5/7qa)/F,

s_3-4(x)=(9/7qa)3F

Строим эпюру s (рис. 10.3г).

7.Запишем выражения относительных деформаций:

e_1-2(x)=(9/7qa–qx)/2EF, e₁(0)=(9/7qa)/2EF, e₂(2a)=(-5/7qa)/2EF

e_2-3(x)=(-5/7qa)/EF,

e_3-4(x)=(9/7qa)3EF

Строим эпюру e (рис. 10.3д).

8. Запишем выражения перемещений сечений:

Dl_1-2(x)= =(1/2EF)(9/7qax–qx²/2);

Dl₁(0)=0; Dl₂(2a)=2/7(qa²/EF)

Dl_2-3(x)=2/7(qa²/EF)+ =2/7(qa²/EF)–5/7(qax/EF);

Dl₂(0)=2/7(qa²/EF); Dl₃(a)=-3/7(qa²/EF)

Dl_3-4(x)=-3/7(qa²/EF)+ =-3/7(qa²/EF)+3/7(qax/EF)

Dl₃(0)=-3/7(qa²/EF); Dl₄(a)=0

Строим эпюру Dl (рис. 10.3е).

Вычислим значение экстремума на эпюре Dl:

e_1-2(x)=(9/7qa–qx_max)/2EF=0, откуда

x_max=9/7a, тогда

Dl_1-2(x_max)=(1/2EF)(9/7qa 9/7a–q(9/7a)²/2)=81/196(qa²/EF)

9. Запишем условия прочности:

9/14(qa/F)<=[s]_р

-5/7(qa/F)>=[s]_c

Определяем потребную площадь сечения:

F>=9/14(qa/[s]_р)=9/14(200 10³ 0,5/160 10⁶)=4 10^-4м²

F>=-5/7(qa/[s]_с)=-5/7(200 10³ 0,5/(-60 10⁶))=11,9 10^-4м²

Таким образом, опасным является участок 2-3.

Выбираем наибольшее значение F = 11,9 10^-4м².