Энергетический критерий Гриффитса

Раздел 2. Критерии статической трещиностойкости

Критерий начала распространения трещины при статическом нагружении впервые был сформулирован А.А. Гриффитсом на основе энергетических соображений, а затем Дж. Ирвином и Е.О. Орованом был предложен силовой критерий и доказана их эквивалентность.

Сущность этих подходов состоит в следующем. Пусть имеется тело с начальной трещиной. Для того чтобы трещина начала распространяться, увеличивая свою поверхность, требуется расходовать энергию, равную по величине работе, которую надо затратить, чтобы сохранить целосность материала перед вершиной трещины. Эту работу (с обратным знаком) можно назвать энергией разрушения. Одновременно с образованием новой поверхности, свободной от нагрузок, в некотором объеме материала уменьшается деформация. Это приводит к соответствующему выделению из тела упругой энергии. Таким образом, при развитии трещины с образованием дополнительной поверхности разрыва величиной DF должен выполняться баланс энергии:

DA=U₀ DV, где

DA - работа разрушения, необходимая для образования новой поверхности разрыва площадью DF;

U₀- интенсивность освобождающейся упругой энергии;

DV – объем, из которого высвобождается энергия.

Гриффитс предположил, что трещина будет развиваться лишь в том случае, если освобождаемая при этом энергия будет достаточна для обеспечения всех затрат энергии, связанных с этим ростом. Условие для роста трещины длиной a, следующее:

dU/da=dW/da (1)

где dU/da – скорость высвобождения упругой энергии;

dW/da – скорость расходования энергии для роста трещины.

Для определения баланса энергии рассмотрим пластину бесконечной ширины и единичной толщины с центральной поперечной трещиной длиной 2a , нагруженную одноосным полем напряжений s и закрепленную по краям (рис. 9.10).

Рисунок 9.10

Предполагая, что в окрестности трещины возникает плоское напряженное состояние, тогда, упругая энергия, которая освободится в окрестности трещины и поступит в вершину трещины:

, где

DV- объем, прилегающий к трещине в котором освободится упругая энергия;

E- модуль Юнга.

Для пластины единичной толщины с эллиптическим отверстием этот объем примерно равен;

Следовательно, высвободившаяся упругая энергия в окрестности трещины:

Запишем производную по длине трещины:

где K_I- коэффициент интенсивности напряжений, который определяется по формуле:

Величину G и называют скоростью высвобождения упругой энергии, приходящейся на каждую вершину трещины, или трещинодвижущей силой.

Скорость изменения энергии расходуемой на распространение трещины обозначают R=dW/da и называют сопротивлением росту трещины. В первом приближении можно считать, что энергия, необходимая для продвижения трещины на единицу длины не зависит от начальной длины трещины, т.е. R-const для материала. Так как для распространения трещины необходимо, чтобы G было, по крайней мере, равно R. Если R-const, то величина G должна достичь некоторого критического значения G_c.

Следовательно, энергетическое условие (1) можно записать:

G=G_c,

где G_c- критическая скорость высвобождения энергии.

Таким образом, получили возможность сформулировать энергетический критерий разрушения. Трещина начинает развиваться в том случае, если интенсивность освобождающейся энергии G достигает критической величины G_Ic.

Гриффитс предположил, что величина R определяется только поверхностной энергией твердого тела, которая имеет туже физическую природу, что и для жидкости Такое предположение позволило сформулировать условия разрушения для очень хрупкого материала, например, стекла. Если считать g- удельную работу разрушения на единицу площади новой поверхности тела, то работа, затрачиваемая на образование трещины длиной 2a, равна:

W=4ga

Запишем производную по длине трещины, получим сопротивление росту трещины:

R=dW/da=4g

Учитывая, что энергия продвижения поступает в две вершины трещины, тогда, условие роста записывается в виде:

Из этого условия можно определить либо критическое напряжение s_кр, при котором трещина длиной 2a становиться опасной:

, либо критическую длину трещины a_кр, ограничивающую сверху размер безопасного дефекта: