Внутренние силовые факторы в сечениях пространственного бруса
Типы стержневых систем
Стержневыми системами принято называть конструкции, элементы которых имеют форму плоского или пространственного бруса.
Стержневая система называется плоской, если оси всех составляющих ее брусьев расположены в одной плоскости и в этой же плоскости расположены все внешние нагрузки и одна из двух главных центральных осей инерции всех поперечных сечений системы. Такая система будет деформироваться только в своей плоскости. Системы, в которых указанные условия не соблюдены, называются пространственными. Геометрически плоская система с нагрузкой, перпендикулярной этой плоскости, называется плоскопространственной.
Конструкции из прямых стержней, испытывающих, главным образом, растяжение или сжатие, называются фермами. В фермах нагрузки прикладываются к ее узлам, а соединение стержней в узлах ферм считается идеально шарнирным. Стержни фермы выполняются в виде тонких длинных брусьев с малой изгибной и крутильной жесткостью.
Стержневые системы, элементы которых работают главным образом на изгиб и кручение, называются рамами. Для рам характерно жесткое соединение составляющих их брусьев в узлах. Жестким считается соединение, при котором в процессе деформации брусьев углы между их осями в вершинах узлов не изменяются (рис. 7.1).
Рисунок 7.1
Отдельные части рамы могут быть соединены шарнирно. Соотношение продольных и поперечных размеров составляющих раму брусьев подбирается так, чтобы их изгибные EI и крутильные GJ жесткости были достаточно большими. Системы, содержащие одновременно элементы рамного и ферменного типа, а иногда и пружины, называются смешанными.
При нагружении пространственного бруса в его поперечных сечениях могут возникнуть одновременно все шесть внутренних силовых факторов (рис. 7.2):
- нормальная сила N;
- перерезывающие силы Qy и Qz;
- крутящий момент Мx;
- изгибающие моменты Mz и My.
Рисунок 7.2
Эти факторы зависят от величины нагрузок и положения сечения и определяются из шести уравнений равновесия отсеченной части бруса.
Также как и для балок, силовые факторы строят в виде эпюр. Эпюры внутренних силовых факторов строят на осевой линии рамы, изображенной в перспективе.
Ординаты эпюр изгибающих моментов My и Mz откладывают в плоскостях действия этих моментов в сторону сжатых волокон. На криволинейных участках изгибающий момент принято считать положительным, если он увеличивает кривизну оси. Плоскости действия крутящих моментов Mx нормальны к оси участка рамы, и поэтому эпюра может строиться в любой плоскости, содержащей ось этого участка. В отличие от эпюр изгибающих моментов, эпюры крутящих моментов принято штриховать винтовыми линиями. При построении эпюр изгибающих моментов обычно вычисляют их ординаты только для некоторых характерных сечений, а очертание устанавливают, как и в балках, на основании дифференциальных зависимостей:
,
Изгибающий момент My в сечении определяют как алгебраическую сумму моментов относительно одной «y», а Mz относительно другой «z», главной центральной оси инерции рассматриваемого сечения от всех внешних активных и реактивных сил и пар, расположенных по одну (любую) сторону от сечения.
Крутящий момент Mx в сечении определяют как сумму моментов тех же сил и пар относительно оси «x» направленной по касательной к осевой линии рамы в данном сечении, а для тонкостенных сечений – относительно оси нормальной к плоскости сечения и проходящей через его центр изгиба.
Перерезывающую силу Qy определяют как алгебраическую сумму проекций на ось «y», а Qz на ось «z» всех внешних активных и реактивных сил, расположенных по одну (любую) сторону от сечения.
Нормальную силу N определяют как алгебраическую сумму проекций на ось «x» всех внешних активных и реактивных сил, расположенных по одну (любую) сторону от сечения.
Для проверки правильности построения эпюр следует убедиться в том, что все узлы рамы будут находиться в равновесии, если выделить каждый узел близкими к его вершине поперечными сечениями и приложить действующие в этих сечениях силовые факторы.
Пример 7.1
Определить в сечениях пространственной рамы (рис. 7.3) силовые факторы и построить их эпюры.
Рисунок 7.3
Решение.
1. На схеме рамы пронумеруем характерные сечения, в которых происходит либо изменение нагрузки, либо изменение сечения, либо это узел в котором соединяются стержни. Нумерацию начинаем со свободного сечения рамы.
2. Зададимся прямоугольной системой координат, начало которой расположим в заделке.
3. Поочередно, начиная со свободного сечения, выделим каждый из участков рамы. Сохраним все внешние нагрузки в пределах рассматриваемого участка. Действие отброшенной части рамы заменим действием в начале участка сосредоточенным моментом и сосредоточенной силой. Используя метод сечений, вычислим силовые факторы в сечении, отстоящем от начала участка на произвольном расстоянии.
Участок 1-2 (рис. 7.4).
Рисунок 7.4
N(x) = 0
Qy (x) = 2qa, Q1 = 2qa, Q2 = 2qa
Qz(x) = 0
Mx(x) = 0
My(x) = 0
Mz(x) = -2qax Mz1 = 0, Mz2 = 2qa2
Участок 2-3 (рис. 7.5).
Рисунок 7.5
N(x) = 2qa, N2 = 2qa, N3 = 2qa
Qx (x) = 0
Qz(x) = 0
Mx(x) = 0
My(x) = qa2 My2 = qa2, My3 = qa2
Mz(x) = 2qa2 Mz2 = 2qa2, Mz3 = 2qa2
Участок 3-4 (рис. 7.6).
Рисунок 7.6
N(x) = qa, N3 = qa, N4 = qa
Qx (x) = 0
Qy(x) = 2qa, Qy3 = 2qa, Qy4 = 2qa
Mx(x) = -2qax-qx2/2 Mx3 = 0 Mx4 = -2,5 qa2
My(x) = qa2 My3 = qa2, My4 = qa2
Mz(x) = 2qa2 Mz3 = 2qa2, Mz4 = 2qa2
Участок 4-5 (рис. 7.7).
Рисунок 7.7
N(x) = 0
Qy (x) = -3qa Qy4 = -3qa, Qy5 = -3qa
Qz(x) = qa, Qz4 = qa, Qz5 = qa
Mx(x) = 2,5qa2, Mx4 = 2,5qa2, Mx5 = 2,5qa2
My(x) = qax-qa2, My4 = -qa2, My5 = 0
Mz(x) = 2qa2-3qax, Mz4 = 2qa2, Mz5 = -qa2
4. Строим эпюры. На рисунке 7.8а построена эпюра нормальных сил, на рисунке 7.8б построена эпюра перерезывающих сил, а на рисунке 7.8в построены эпюры изгибающих и крутящих моментов.
Рисунок 7.8
5. Выполним проверку. Для этого последовательно выделим узлы, прикладываем внешние нагрузки и соответсвующие силовые факторы, и проверяем выполнение условий равновесия.
Узел 2.
Рисунок 7.9
Σy = 2qa – 2qa = 0
Σmomy = qa2 – qa2 = 0
Σmomz = qa2 – qa2 = 0
Узел 3.
Рисунок 7.10
Σy = 2qa – 2qa = 0
Σz = qa – qa = 0
Σmomy = qa2 – qa2 = 0
Σmomz = 2qa2 – 2qa2 = 0
Узел 4.
Рисунок 7.11
Σy = qa – qa = 0
Σz = qa – qa = 0
Σmomy = qa2 – qa2 = 0
Σmomz = 2qa2 – 2qa2 = 0