Упругая потеря устойчивости стержня, нагруженного осевой и поперечной нагрузками
Упругая потеря устойчивости стержня с первоначальной кривизной
Упругая потеря устойчивости стержня, нагруженного осевой нагрузкой с эксцентриситетом
Рассмотрим длинный упругий стержень, нагруженный эксцентрично сжимающей силой Р (рис. 6.6).
Рисунок 6.6
При увеличении сжимающего усилия, стержень будет изгибаться. При малых прогибах деформированное состояние оси стержня будет описываться дифференциальным уравнением:
(1)
Примем:
, тогда
получим неоднородное дифференциальное уравнение:
Общий интеграл однородного уравнения:
Частное решение однородного уравнения:
Таким образом, решение уравнения примет вид:
Граничные условия: y(0) = 0, y(l) = 0.
Для определения констант А и В, удовлетворим решение граничным условиям:
В –Δ = 0
A sin αl + B cos αl – Δ = 0, откуда
В = Δ
Окончательно прогиб определяется соотношением:
Дважды продифференцируем, получим:
Подставим выражение в соотношение 1, получим изгибающий момент:
Максимальный прогиб получим при x = l/2, т.е.:
Рассмотрим длинный упругий стержень с первоначальной кривизной, нагруженный сжимающей силой Р (рис. 6.7).
Рисунок 6.7
При увеличении нагрузки первоначальная кривизна стержня будет увеличиваться. Прогиб стержня, от возникающего изгибающего момента:
yизг(x) = y(x) - y0(x)
При малых прогибах деформированное состояние оси стержня будет описываться дифференциальным уравнением:
Обозначим , тогда уравнение упругой линии примет вид:
(1)
Решение уравнения обычно возможно при первоначальной форме описываемой синусоидой, параболой или кругом. Определим отклонение и изгибающий момент для стержня с шарнирно закрепленными краями и синусоидальной первоначальной кривизной:
, где
δ- малое первоначальное отклонение в середине стержня.
Подставим y0(x) в уравнение упругой линии (1) получим:
(2)
Решение однородного уравнения:
yоо(x) = A sinαx +B cosαx
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
Подставим в уравнение 2, получим:
, откуда
Общее решение:
Удовлетворим граничным условиям, получим:
при x = 0 y = 0, поэтому B = 0;
при x = l/2 dy/dx=0, поэтому A = 0.
Следовательно:
, где
Максимальное отклонение при x=l/2:
ymax = δ Pкр (Pкр-P)
Максимальный изгибающий момент при x=l/2:
Mmax = δ P Pкр (Pкр-P)
В случае комбинированного действия осевых и поперечных нагрузок возникает задача упругой потери устойчивости стержня, которая часто носит название задачи продольно-поперечного изгиба стержня.
Рассмотрим деформирование стержня, на который одновременно действуют поперечная нагрузка q(х) и продольная сжимающая сила S (рис. 6.8).
Рисунок 6.8
Пока стержень прямой, продольная сила S вызывает сжатие; как только стержень изогнется, сила S создает в сечении стержня изгибающий момент.
Предполагая, что прогибы малы и изгиб происходит в одной из главных плоскостей стержня, можно использовать дифференциальное уравнение изгиба:
Изгибающий момент Мпп(х) равен сумме изгибающих моментов от поперечных нагрузок Мп(х) и от продольной силы S:
Мпп(х) = Мп(х) – S×y(x)
Дифференциальное уравнение продольно-поперечного изгиба:
Введем обозначение
, тогда уравнение принимает вид:
(1)
Интегрируя уравнение и удовлетворяя общее решение граничным условиям, можно определить уравнение упругой линии стержня.
Пример 6.2
Рассмотрим пример применения изложенного подхода. Балка, лежащая на двух шарнирных опорах, одна из которых подвижная, а другая неподвижная, сжимается силой S, приложенной с эксцентриситетом е (рис. 6.9). Изгибная жесткость балки EIz. Определить критическое значение продольного усилия Sкр.
Рисунок 6.9
Решение.
В данном случае поперечная нагрузка вызывает изгибающий момент:
Mп = S e
Уравнение (1) принимает вид:
Решение уравнения определяет зависимость прогиба стержня:
Удовлетворим граничным условием:
при x = 0 y = 0, поэтому B = -e;
при x = l y =0, поэтому A = .
Следовательно, уравнение упругой линии принимает вид:
Прогиб стремится к бесконечности при:
α l = n π, или
,
откуда критическое значение осевой нагрузки: