Историческая справка

Раздел 4. Кручение

Касательные напряжения при срезе

Рассмотрим деформацию прямоугольного элемента толщиной δ, который расположен между двумя равными, параллельными, противоположно направленными силами, приложенными на очень близком расстоянии друг от друга (рис. 3.34).

 

Рисунок 3.34

Рассечем элемент плоскостью между силами, отбросим правую часть и ее действие заменим касательными напряжениями t_ср. Элемент под действием сил превратится в параллелепипед и первоначально прямой угол изменится на угол сдвига g. Предполагая, что касательные напряжения по площади сечения распределены равномерно получим формулу для определения касательных напряжений:

t_ср= P/(hδ).

При рассмотрении кручения брусьев круглого и не круглого сечений можно отметить существенные отличия в их деформировании. Оказывается что брусья круглого сечения‑это редкое, хотя и важное исключение, когда сечения при закручивании, не искривляясь, поворачиваются как диски вокруг продольной оси. Это позволяет воспользоваться гипотезой плоских сечений. В общем случае при кручении поперечные сечения, плоские до деформации, искривляются по некоторой поверхности, что называется депланацией сечения. В связи с развитием депланации сечения различают два типа кручения стержней: свободное и стесненное. Если депланации всех поперечных сечений одинаковы по длине стержня, то кручение называется свободным. При переменных депланациях кручение называют стесненным. При свободном кручении в поперечных сечениях возникают только касательные напряжения. При стесненном кручении дополнительно к касательным возникают нормальные напряжения.

Формула для угла закручивания круглого стержня была впервые экспериментально установлена Ш. Кулоном. Ш. Кулон провел экспериментальные исследования крутильных колебаний круглого стержня, получил дифференциальное уравнение свободных крутильных колебаний и вывел формулу для периода колебаний.

 

Кулон исследовал крутильные колебания экспериментально на специальном приборе, который приведен на рисунке. Он установил, что при малых углах закручивания период не зависит от угла закручивания. На этом основании Кулон сделал правильный вывод о том, что угол закручивания пропорционален крутящему моменту. Испытывая на кручение круглые проволоки различной длины и различного диаметра, Кулон экспериментально получил правильную формулу для угла закручивания круглого стержня длиной l:

, где

M- крутящий момент,

l- длина стержня,

d- диаметр стержня,

k- постоянная для материала.

В настоящее время получено, что , где

G- модуль упругости при сдвиге.

Таким образом, Кулон ввел понятие модуля упругости при сдвиге и экспериментально определил его для железа и латуни. Кулон понимал, что линейная зависимость угла закручивания от крутящего момента справедлива только в начальной стадии нагружения, и экспериментально определил величины крутящих моментов, превышение которых приводит к остаточной деформации. Кроме этого, он установил, что предварительное закручивание за пределы упругости (наклеп) и последующая разгрузка увеличивают пределы линейной зависимости между крутящим моментом и углом закручивания в случае закручивания в ту же сторону, что и предварительное.

Т. Юнгом в 1807г. установлена пропорциональная зависимость касательного напряжения от расстояния до центра круглого поперечного сечения стержня.

Основные уравнения задачи кручения призматического стержня произвольного поперечного сечения были получены методами теории упругости Б. Сен-Венаном в 1855 г. Им был рассмотрен ряд частных случаев поперечных сечений: эллиптическое, правильный треугольник и прямоугольник. Для первых двух сечений решения получены в замкнутой форме. В третьем случае прямоугольного сечения Б. Сен-Венан решил задачу в рядах и подсчитал коэффициенты для определения напряжений в серединах сторон прямоугольника и угла закручивания. Б. Сен-Венан исследовал также депланацию некруглых поперечных сечений.