Закон парности касательных напряжений

Раздел 1 Напряженное состояние в точке

ГЛАВА 3. Напряжения и деформации

Определение напряжения. В конструкции под действием внешних сил возникают дополнительные внутренние силы. Эти силы сопротивляются стремлению внешних сил разрушить конструкцию, изменить ее форму. В силу принятой гипотезы сплошности и однородности материала эти приращения сил распределены по поперечному сечению элемента конструкции непрерывно. Это означает, что внутренние силы, как всякие распределенные силы, можно измерить их интенсивностью, т.е. величиной силы, передающейся через единицу площади сечения.

 

Рисунок 3.1

Для определения напряжения в точке A пересечем элемент конструкции плоскостью проходящей через точку A и в окрестности точки выделим элементарный участок площадью ΔF, на который действует внутреннее усилие DP(рис. 3.1а). Если устремлять площадь элементарного участка к нулю, то в пределе получим исследуемую точку, в которой будет действовать напряжение p:

p = .

Если пересечь элемент конструкции другой плоскостью, проходящей через ту же точку А (рис.3.1б) и затем найти аналогичным путем:

p₁ = , то этот вектор тоже будет напряжением в точке А, но только на другой площадке.

Следовательно, напряжение всегда связано с точкой элемента конструкции и с ориентацией площадки его действия. Совокупность напряжений на всех площадках, проходящих через данную точку, называют напряженным состоянием в данной точке. Вектор полного напряжения принято раскладывать на нормальное напряжение s перпендикулярное плоскости площадки его действия и касательное t, действующее в плоскости рассматриваемой площадки (рис.3.2).

 

Рисунок 3.2

Определение деформации. Из опыта известно, что под действием внешних усилий элементы конструкции изменяют свои первоначальные размеры и форму (удлинение болта, прогиб лопастей вертолета под действием собственного веса и аэродинамических сил и т.д.). В большинстве случаев изменения размеров и формы после приложения нагрузки невелики, но в ряде случаев могут препятствовать нормальной работе. Умение определить деформации, установить их допустимые величины важно при проектировании конструкций. В теории деформаций сопоставляются начальное и деформированное состояние тела. Время деформирования, траектории точек тела в процессе деформирования, изменение физических свойств тела не учитывается. Изучается геометрическая задача изменения длины и взаимных углов поворота линейных элементов тела.

Линейные размеры тела могут меняться в одном или одновременно в двух и трех взаимно перпендикулярных направлениях. В соответствии с этим деформации называют линейными, плоскими и объемными.

Линейные деформации характеризуются абсолютными удлинениями Δl:

Δl = l₁-l₀

и относительными удлинениями ε:

, где

l_o и l₁ - линейные размеры до и после деформации.

Плоские деформации характеризуются абсолютным ΔF и относительным ψ сужением площади:

, , где

F₀ и F₁ - размеры площади до и после деформации.

Объемные деформации характеризуются абсолютным ΔV и относительным изменением объема:

, где

где V₀ и V₁ - размеры объема до и после деформации.

Линейные деформации, как правило, сопровождаются изменением объема тела.

Определение линейной деформации. Рассмотрим определение линейной деформации в точке А (рис. 3.3а). Линейная деформация в различных направлениях будет различна, и следует указать не только точку, в которой определяется деформация, но и ее направление. Пусть деформация определяется в направлении, задаваемом единичным вектором s.На указанной прямой рассматривается вторая, бесконечно близкая точка В и прослеживается изменение отрезка АВ в результате деформации.

 

Рисунок 3.3

Будем называть линейной деформацией в точке А в направлении sследующую величину:

e_s=(A¢B¢ – AB)/AB = (ds¢ - ds)/ds

Определение угловой деформации. Линейная деформация не полностью характеризует изменение формы элемента тела при его деформировании, так как возможно не только изменение линейных размеров, но и скос граней. Изменение угла между двумя взаимно перпендикулярными до деформации направлениями называется деформацией сдвига. В общем случае для определения деформации сдвига в точке А между направлениями s и r рассматривают два бесконечно малых отрезка АВ и АС вдоль указанных направлений (рис. 3.3б). Деформация сдвига:

g_sr = g_1sr+g_2sr

Для того чтобы определить напряженное состояние вокруг какой либо точки конструкции, вырежем элементарный параллелепипед с бесконечно малыми сторонами dx, dy, dz внутри которого находится исследуемая точка, и на гранях этого параллелепипеда определим нормальные и касательные напряжения (рис. 3.4а). Если устремлять стороны параллелепипеда к нулю, то есть стягивать их в точку, то в пределе получим исследуемую точку, а напряжения, действующие на гранях параллелепипеда, будут напряжениями в этой точке.

 

Рисунок 3.4

В общем случае на гранях элементарного параллелепипеде требуется определить шесть компонентов перемещений (3 компонента нормальных σ и 3 компонента касательных напряжений τ) (рис. 3.4б). На рисунке для наглядности изображены компоненты напряжений только на видимых гранях параллелепипеда. На невидимых гранях параллелепипеда возникают соответственно такие же напряжения, но противоположно направленные. Индекс нормальных напряжений совпадает с наименованием оси, параллельно которой направлен вектор нормальных напряжений. Касательные напряжения имеют два индекса, первый совпадает с наименованием оси, к которой перпендикулярна рассматриваемая грань, а второй совпадает с наименованием оси, параллельно которой направлен вектор напряжения. Предполагается, что перепады нормальных и касательных напряжений на длинах dx, dy, dz отсутствуют.

Так как система сил, действующая на грани параллелепипеда, выделенного из объема (рис. 3.4б), должна находиться в равновесии, то для нее должны удовлетворять уравнениям равновесия:

S x =0 S mom_x=0

S y =0 S mom_y=0

S z =0 S mom_z=0

Поскольку на противоположных гранях возникают противоположные по направлению силы, то три условия равновесия удовлетворяются тождественно, т.е. суммы проекций всех сил на оси x, y, z равны нулю, независимо от величины возникающих напряжений. Остается проверить, обращаются ли в нуль суммы моментов относительно осей x, y, z.

Запишем уравнения равновесия моментов относительно оси x.

Smom_x = σ_y´dx´dz´(dx/2)- σ_y´dx´dz´(dx/2)+σ_z´dx´dy´ dy/2)-σ_z´dx´dy´dy/2)+

+τ_xy´dy´dz´(dz/2)- τ_xy´dy´dz´(dz/2) +τ_xz´dy´dz´(dz/2)- τ_xz´dy´dz´(dz/2) +τ_yz´dy´dz´dx-τ_zy´dy´ dx ´dz =0, откуда

τ_yz = τ_zy

Из уравнений равновесия относительно осей y и z аналогично можно получить:

τ_xz = τ_zx

τ_yx = τ_xy

Полученные равенства называют законом парности касательных напряжений, который можно сформулировать следующим образом.

Касательные напряжения на двух взаимно ортогональных площадках равны по величине и направлены либо к линии пересечения площадок, либо от нее.