В случае известного решения д.у.

Метод Лагранжа нахождения решения д.у.

Теорема.

y_oн = y_oo + y_чн.

Доказательство.Пусть y_чн : L_n [y_чн]= f.

 

а) пусть y^* : L_n [y^*]= 0. Рассмотрим y₁ = y^* + y_чн,

Þ

L_n [y₁]= L_n [y^* + y_чн]= L_n [y^*] + L_n [y_чн]= 0 + f = f;

 

б) пусть y₁ : L_n [y₁]= f. Представим его виде

y₁ = (y₁ – y_чн) + y_чн

и покажем, что функция (y₁ – y_чн) Îy_oo:

L_n [y₁ – y_чн]= L_n [y₁] – L_n [y_чн]= f – f = 0.

Замечание. Принцип суперпозиции.

Еслиf(x) = f₁(x) + f₂(x), то частное решение д. у.

L_n [y]= f можно искать в виде

y_чн = y_чн,1 + y_чн,2 ,

где L_n [y_чн,1]= f₁, L_n [y_чн,2]= f₂.

L_n[y]= f

L_n[y]= 0

(метод вариации произвольных постоянных).

Теорема.Если

y_oo = С₁y₁ + С₂y₂ + … + С_ny_n,

то y_чн может быть найдено в виде

y_чн= С₁(x) y₁ + С₂(x) y₂ + … + С_n(x) y_n, (*)

где С₁(x), С₂(x), …, С_n(x) – непрерывно дифференцируемые функции, подлежащие определению.

 

n = 2: y_oo = С₁y₁ + С₂y₂

 

y_чн = С₁(x) y₁ + С₂(x) y₂ (*)

 

Доказательство(n = 2).

Подставим (*) в уравнение L₂[y]= f , т.е.

y¢¢+ p₁(x) y¢ + p₂(x) y = 0,

принимая меры для того, чтобы С₁(x), С₂(x), …, С_n(x) входили в него с производными не выше 1-го порядка:

y¢ = С₁¢ y₁ + С₁ y₁¢ + С₂¢ y₂+ С₂y₂¢ =

= С₁ y₁¢ + С₂y₂¢

(если положить С₁¢ y₁ + С₂¢ y₂= 0),

y¢¢ = С₁¢ y₁¢ + С₁ y₁¢¢ + С₂¢ y₂¢+ С₂y₂¢¢

 

L₂[y]= С₁¢ y₁¢+ С₂¢ y₂¢+ С₁ (y₁¢¢+ p₁(x) y₁¢+p₂ (x) y₁) +

+ С₂(y₂¢¢ + p₁(x) y₂¢+ p₂ (x) y₂ ) = f(x).

Но L₂ [y₁]= 0, L₂ [y₂]= 0 Þ

L₂ [y]= С₁¢ y₁¢ + С₂¢ y₂¢ = f(x).

 

Þ система двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными С₁¢, С₂¢: