Свойства вронскиана.

Определитель Вронского.

Определителем Вронского, иливронскианом для системы функций y₁, y₂, … , y_n называется функциональный определитель n-го порядка

 

1. Если функции y₁, y₂, … , y_n линейно зависимы, то

W_n(x) º 0. Следует из теоремы 2.

Обратное не верно.

Например:

 

Функции линейно независимы, но

2. Если функции y₁, y₂, … , y_n – линейно независимые решения д. у. L_n[y]= 0 на интервале, где непрерывны коэффициенты, то W_n(x) не обращается в 0 ни в одной точке этого интервала.

Следует из теоремы 2.

ÞНа интервале, где непрерывны коэффициенты уравнения L_n[y]= 0 для n его решений

- либо W_n(x) º 0(линейно зависимые решения),

- либо W_n(x) ¹ 0во всех точках (линейно независимые решения).

13.1.4. Структура общего решения уравнения L_n [y]= f.

y_oo – общее решение д. у. L_n [y]= 0.

y_oн – общее решение д. у. L_n [y]= f ,

y_чн– частное решение д. у. L_n [y]= f.